费尔巴哈和他的九点圆.doc

费尔巴哈和他的九点圆 ? 所谓“九点圆”，是指经过三角形三条高的垂足、三条边的中点以及连接垂心和顶点的三条线段的中点这九个特殊点的圆。历史上有好几个数学家都曾独立发现过这个圆。1804年，英国人贝凡（B. Bevan）在《数学杂纂》（Mathematics Repository）上提出一个实际上是关于九点圆的一个定理，同年，布特沃斯（J. Butterworth）给出了证明。后者已经知道所有的九个点[1]。1821年，法国数学家布里安双（C. J. Brianchon, 1783～1864）和庞斯列（J. V. Poncelet, 1788～1867）在联名发表于热尔岗《数学年刊》（Annals of Mathematics）的论文中，证明了上述结果。 如图1所示，设AM、BN、CP是三角形ABC的三条高线，M、N、P分别是垂足，O是垂心，D、E、和F分别是AB、BC和CA的中点（欧拉点），、和分别是OA、OB和OC的中点，因相似于，故得，所以。因此M、E、D、P四点共圆。同理可证M、E、F、N四点以及N、F、P、D四点也分别共圆。若上述两两有公共弦的三个圆不是同一个圆，则这三条公共弦必经过同一点；然而现在PD、ME和FN在的三条边上，显然不过同一点。因此他们必重合为同一个圆。又因相似于，因此。所以，因此过M、E、P的圆也经过点。同理，它也经过点和 。因此它经过M、N、P、D、E、F、、和九个点。 图1 1822年，德国爱尔兰根大学预科学校年轻的数学教授费尔巴哈（K. W. Feuerbach, 1800～1834）出版《直线三角形一些特殊点的性质》一书，讨论了三角形内心、外心和垂心的性质及其位置关系，独立获得了九点圆，并证明了关于九点圆的一个重要定理——三角形的九点圆和它的内切圆相内切，和它的三个旁切圆相外切。此定理使费尔巴哈著称于世。费尔巴哈的工作是后世三角形几何学研究的先声，九点圆，这一19世纪初等几何学上的引人注目的发现，也因此与“费尔巴哈”这个名字联系在一起了。 设三角形ABC的三个内角为、和（这里我们只考虑它们为锐角的情形），三边分别为a、b和c，内切圆和三个旁切圆的半径分别为、、和，外接圆半径为R，面积为。在费尔巴哈之前，人们已经知道： 定理1??? 、，，。 ??????? 定理2?? 。 由余弦定理及海伦公式 可得 ??????? 定理3?? ΔMNP的周长为。 图2 由定理3可得 ?????? 定理4?? 是的所有内接三角形中周长最短的一个。 ?????? 因，同理 ， 因此 ????????????????? 于是费尔巴哈有 ?????? 定理5 ??。 由定理1、2、3和5易得 ?????? 定理6? 的内切圆半径为。 ?????? 定理7? 的外接圆半径为。 ????? 因B、P、O、M四点共圆，故?PBO=PMO，同理，?NMO=?NCO，而?PBO=?NCO，故知?PMO=?NMO。类似可得?PNO=?MNO，?NPO=?MPO。因此有 ?????? 定理8? 的内心就是的垂心。 因?AON=?C=，故。同理： ??????????? ， 因此 ??????????????? 但由余弦定理可化简得： 故有 ?????? 定理9? ?。 因 ， ， ， 故由定理6得： ????? ?定理10 ??。 因，，，所以又有 定理11 ??，，。 ?????? 设S为ABC之内心，过S作SG?BC，垂足为G，连接SK,如图3所示。因为，，，，所以 因此费尔巴哈获得欧拉曾经得到过的结果： ????? ?定理12? （内、外心距离平方）。 用类似的方法可得： 定理13 （内、垂心距离平方）。 定理14 （垂、外心距离平方）。 设L是外接圆的圆心，则由定理12知： 。 故由定理14知。过L作LJ?BC,LH?AM,垂足分别为J、H。在中， ???????????????? ， 但，，，因而。于是得 因此有 ?定理15 （的垂心O、外心K和的外心L共线，且L是线段OK的中点。 定理15中的OLK就是所谓的“欧拉线”，欧拉于1765年发现三角形的垂心、外心和重心共线。由定理15知，J亦为线段ME之中点，因此得LE=LM。这表明，点E在的外接圆上。同理可证，点D和F也在该圆上。因此有 定理15? 的外接圆也经过三边的中点。 现在，连接 、和，因为、和分别是OA、OB和OC的中点，L是OK这中点，因此 ?，， 这表明，A、B、C也在的外接圆上，于是我们又有： 定理17? 的外接圆也经过连接垂心O和各顶点的线段之中点。 连接LS，在中，，由定理12、13以及得 ， 或即 。 设的旁切圆圆心分别为、和，则类似可得 ，， 但是外接圆之半径，因此费尔巴哈最后得到 定理18? 的外接圆与的内切圆相内切，与的三个旁切圆相外