初等几何中的共圆点问题的讨论.doc

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号 学士学位论文 初等几何中的共圆点问题的讨论 学生姓名： 孜来提·吐拉洪 学 号： 20030101029 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2003-3班 指导教师： 阿布力米提·木沙 完成日期： 2008 年 4 月 30 日 中文摘要 本文章主要讨论和介绍共圆点的概念，共圆点的几种证明方法和有关的例子。 关键词：点共圆，四点共圆，视角，圆内接多边形，共圆点，圆外切多边形。  目　录 1 II点共圆的概念 1 ㈠.三点共圆 1 ㈡.四点共圆 2 1.证明四点共圆的基本方法 4 2.关于点共圆证法的例子 5 ㈢.多点共圆 5 III.总结 6 IV.参考文献 7 V.致谢 11 如何证明共圆点问题 我们在讨论数学问题时经常遇到初等几何中有关共圆点的问题，在中学数学中这些问题虽然没有很详细的讨论，但在初等几何中即使很重要并有很大难度的问题。 定义1：在同一圆周上的点称为共圆点，或者说这些点共圆。 由于不共线三点决定一个圆，所以不共线三点必为共圆点，通常证明点共圆时要证四个或四个以上的点共圆。 我们证明四个点共圆常常利用下列一些方法。 方法1： 证诸点距一定点等远（例如：有通过一点的三直线一点关于这三条线的对称点为，则是共圆） 例1：证明等腰梯形四个顶点共圆。 已知：四边形是等腰梯形，，。（图1） 求证：四点在一个圆上。 分析：关键是找圆心，其次说明圆心到四顶点等距。 证明：作等腰梯形ABCD的对称轴m和腰的垂直平分线N,m和N交于点O，连接OA，OB，OC，OD.由对称轴的意义可得OA=OB，。由垂直平分线性质得OA=OD。 故等腰梯形的四个顶点，在对称轴与一腰垂直平分线交点为圆心的圆上。（A，B，C，D在一个圆上）； 例2：菱形的四边中点共圆。 已知：、、、四点分是菱形的四边、、、的中点。 求证：、、、四点共圆。 证明：如图2，连接、，设其交点为，再连接、、、，则在菱形中，。 ，是的斜边的中点。 同法可证 、、、都在以为圆心，之长为半径的圆周上（、、、四点共圆）。 方法2： 如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。 例3 :如图3所示，是的边上的任意一点，在，外接圆的中心分别为、、时，证明、、、四点在同一个圆上。（图3） 分析：、、是圆的中心，所以根据已知条件可以讨论关于圆的互补或等角关系。 证明：连接 、延续，边交于点，连接，、、、，设与交于。 、因为是与的共弦，是于的共弦。 所以，，因为。 所以 且 所以 因为 所以 故、、、四点在同一个圆上。 例4：两圆交于两点，为过之割线交于，交于为与上的任一点，，交于，则，，，共圆。（图4） 思考方法：连接，，需证明 而 问题转化为证明。 ，分别是四边形与的内角，且是，的外对角的和。 于是连接并延长，则问题之解决极为明显。 证明：连接并延长，是圆内接四边形，是四边形的外角， 同样是圆内接四边形，是外角， 但 ，， 共圆 方法3： 四边形中如果某两点视角另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段同一侧，那么这四边形的四个顶点共圆。 例5：、、是圆内接四边形的、、的中点，与交于，与交于，则、、、四点共圆。（图5） 思考方法：要证、、、共圆，只要证明即可。 因为、是、的中点，而中位线 与底边平行从而能找出与相等的同位角来，所以就导致连结，并得 。 同样，导致连结，并得 这样问题就可转化为证明。 这是显然的，因为他们是圆上同弧所对之圆周角，于是问题得以解决。 证明：连结,, 则，。 但， 故、、、四点在同一个圆上。（四点共圆）。 方法4： 如果四边形的任意一个外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆。 例6：、、分别是锐角三角形各边的中点，是高在上的垂足。 求证：、、、四点共圆。（图6） 思考方法：当时，、重合，显然共圆，当时，、、、构成一个四边形，于是连结、、。这时，根据“四边形的外角等于它的内对角，则四边形内接于圆”的判定定理，我们需证。 由于是平行四边形的内角 于是问题转化为证明这样又可转化为证明，但是直角 斜边上的中线。成立。于是问题得以解决。 证明：连结、、，则四边形是一平行四边形。 连结则 , 故、、、四点共圆。 方法5： 利用相交弦定理的逆定理（当两个线段或者它们的延长线互相相交时，如果从每一个线段的交点到两个端