多项式环的算术性质.docx

Ξ多项式环的算术性质王航平(中国计量学院数学系,浙江杭州310018)摘要:通过对整系数多项式环的由二次首一整系数不可约多项式生成的理想的研究,找出系数的关系使得相应的剩余类环为惟一分解环,或者是主理想整环,或者是欧氏整环的条件。由此可得到一些是主理想整环但不是欧氏整环的例子。关键词:惟一分解环;主理想整环;欧氏整环中图分类号:O15313文献标识码:A文章编号:052926579(2005)0120025204固定m,n∈Z,并满足Δ=m2-4n0,设(x2+mx+n)表示由不可约多项式x2+mx+n生成的理想。设α1,α2为x2+mx+n的两个共轭复根,则Z[αi]={a+bαi∈|a,b∈Z},i=1,2且N(a+bα1)=a2+qb2(1)N(a+bα2)=a+ab+qb=22(a-b)2+3ab+qb2当ab≥0时当ab0时(2)(a+b)ab+qb2引理3设α∈R,2-Z[x]且环是含幺交换诺特整环。同时环Rx2+mx+nZ[x]α为R的可逆元ΖN(α)(1)(2)(3)=1;Z[±α,,同构于=1,2。=iIx2+mx+nq1如,则α为R的可逆元Ζα=±1;Z[x]引理1设环R=q=1,则Z[α]中可逆元为±1,如x2+mx+n1±α1=±i;Z[α2]中可逆元为±1,±α2=±(1)如m为偶数,Z[x]则环R同构于1+3i。x2+(n2)-如m2/m4为奇数,则环R同构于Z[x]2引理4设q2,p为一小于q的素数,则p为R中的不可约元。x2+x+n-(m-1)2/4-(m-1)/2由m2-4n0,则n-(m/2)2和n-(m-证明逆元,则p2如果p=αβ,其中α,β∈R都不是可1)2/4-(m-1)/2均大于0。由引理1,只须研究型如Z[x]Z[x]=N(p)=N(αβ)=N(α)N(β)=p。设α=a+bαi,与,q∈N的环。而它们分别同构x2+qx2+x+q但N(α),N(β)≠1,故N(α)1+4q-1ii=1,2,由公式(1)知,如果b0,则N(α)≥q。本文中设α1于Z[qi]和Z=2p,于是b=0,有N(α)==p,矛盾。a2=1+4q-1i,Rqi,α2=Z[α1]或Z[α2]。2环Rqi]和4q-1i)/2]的性质1R==Z[Z[(1+引理2设r,r′,s1,s2∈R,r为R中不可约元。如果rr′=s1s2且s1/r,s2/r|R,则R不是惟一分解环。定义1设α∈C,a,b∈Z,定义α的范数为N(α)=ααa=|α|2定理1当q2时R=Z[qi](q∈N)不是惟一分解环。证明由引理4知2是不可约元,我们只须证明2不是R中的素元即可。应用引理2:如果q是奇数,则α=0ΖN(α)=0;N(αβ)=N(α)N(β),Πα,β∈C显然Ξ收稿日期:2004-08-30基金项目:浙江省教育厅科研基金资助项目作者简介:王航平(1959年生),男,副教授;E-mail:wanghp@cjlu1edu1cn26中山大学学报(自然科学版)第44卷当q3时,(R3)′=R\(1+qi)(1-qi)=1+q=2d{-1,0,1}≠,(R3)′=(R3)2其中,d∈N,但(1+qi)/2,(1-qi)/2|R,故2=q=现在考虑q是大于3的素数情形。定义函数不是素元,如果q是偶数,则2d,其中d∈N,但qi/2,-是素元。qi(1-qi/2|qi)R,故2也不(16q-4)/3如果q5T(q)=如果q=5q-1定理2当q=1、2时,环R整环。证明将证明范函数N:R3=Z[qi]为欧氏注意到当q≥7时(16q-4)/3q于是对所有大于3的素数q满足T(q)q。定义2设q为大于3的素数,称q是衍素数,如果对Z中的任意元数a,b,使得(a,b)=1,且0a,b≤T(q),所有→N是R的一个欧氏函数。如r,r′∈R,使得r|r′,则存在s∈R使得r′=rs,我们有N(r′)=N(r)N(s)。于是N(r′)≥N(r),设r,r′∈R,令r′/r=u+vqi∈C,其中u,v∈R,我们总能取u′,v′∈Z,使得,a+b1+4q-1i=a2+ab+qb2N2的素因子都大于等于q。例5是一个衍素数。引理7如果q是一个衍素数,a,b,c∈Z满足u-u′≤1/2,v-v′≤1/2令s=u′+v′qi,t=r′-rs,显然s,t∈R,且N(t)=N(r)N((u-u′)+(v-v′)qi)=N(r)((u-u′)2+q(v-v′)2)≤N(r)(1/4+q/4)≤3/4N(r)N(r)所以结论正确。定理3如果q是合数,则(a,b,c)=1,1c≤T(q)那么在Z中c不整除a2+ab+qb2。证明首先令a′,b′∈Z为惟一一对满足a′≡a(modc),b′≡b(modc),0a′,b′≤cR=Z[(1+4q-1i)/2)](