现代控制理论赵光宙第2章节.ppt

…… 求得状态解为： 二、时变系统状态转移矩阵的性质： 定常系统状态转移矩阵的性质（10个）并不都适用时变系统，但有4个是 共同的： 三、时变非齐次状态方程的解 有： 零输入分量 零初值分量 一般需用计算机来求解。 得： 第一种情况 例2－10设系统 的初始状态为 求系统在单位阶跃信号 作用下的状态解和系统输出响应。 代入 ，有： 系统的状态解为： 系统的输出响应为： 尚辅网 / 第二章 线性动态系统的运动分析 已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的 系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析 解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于 定量分析。 §1、线性定常系统的运动分析 一、线性定常系统齐次状态方程的解 齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程： 设解 为向量幂级数： 代入状态方程得： 等式两边同幂次项的系数应相等，即： 将初始条件代入，有： 状态方程的解可写为： 仿照标量指数函数 矩阵指 数函数 所以状态方程的解为： 线性定常系统自由运动的状态 可视为是由它的初始状态 通过矩阵 指数 的转移作用而得到的，因此又将矩阵指数 称为线性定常系 统的状态转移矩阵，记作 。 状态方程的解又可写为： 当初始时刻 时，初始条件成为 自由运动的解为： 矩阵指数函数为： 二、状态转移矩阵 的性质 证： 将 代入 即可证。 结合性质1还可得出 9．对应于对角阵 的状态转移矩阵也是对角矩阵，为 证： 给出了状态方程的频域解法 证： 证： 10．对应于 （约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵： 对于具有n个互不相同的特征值 的系统矩阵A，由它们所对应的 线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵 得： 三、状态运动模态 状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息。 系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。 其中： 由状态转移矩阵的性质9有 进一步得到新的状态空间中的状态解： 又 把一个由 决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系统状态的运动特性， （包括稳定性、运动速度、运动方向等）。 线性定常系统的状态解是由系统的n个特征值决定的指数函数 的线性组合。 所以： 可以证明，对于共轭复数对特征值，采用实数化处理方法，得出的状态转 移矩阵与先化为复数对角矩阵，然后再得出状态转移矩阵具有相同的结果。 对于上一章所讨论的例子： 已求得特征值为： 对应的特征向量为： 得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为： 欧拉公式 采用实数化处理方法： 对于共轭复数对特征值 取变换矩阵为 其中 和 分别是共轭复数对特征值对应的特征向量 的实部和虚部列向量 变换后的系统矩阵为： 将 表示为： 有： （因为满足状态转移矩阵性质6的乘法交换率） 对于 有： （性质9） 对于 有： 台劳级数公式 所以得： 对于 对应的特征向量为： 变换矩阵P及其逆阵分别为： 实数化处理得到的 ： 的状态转移矩阵为： A的状态转移矩阵为： 与直接用复数特征值求得的结果一致。 四、矩阵指数 的计算方法 1．按定义求解 一般不能写出闭合形式，只能得到数值结果，适合用计算机计算，以实际精度确定项数。 2．频域法求解 能得到闭合形式，不适合较高阶次系统。 例2－3 已知 ，求出状态转移矩阵。 解： 求逆得预解矩阵： 所以有 3．利用特征值规范型求解 上例有 ，求得它的二个特征值为 A矩阵具有能控规范型形式，有 范德蒙德矩阵 依此类推， 都可表示为 的线性组合。 可表示为 的线性组合： 4．应用凯莱－哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求解 （1）凯莱－哈密顿定理指出， 矩阵A满足其自身的特征方程： 为A的特征多项式 、…、A、I 同理，对于 有： 、…、A、I （3）当矩阵A具有n个相同的特征值 ，且其几