数字信号处理杨毅明电子课件2014版第7章节无限脉冲响应滤波器的设计.ppt

第7章 无限脉冲响应滤波器的设计 从大的方面来看，设计无限脉冲响应数字滤波器有两种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计法。间接设计法的基础是模拟滤波器。 7.1 模拟滤波器的设计 这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的系统，它只是数学模型，不是电路。 理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突 变的，而实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的。（为什么？） 7.1.1 模拟滤波器的描述方法 模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义式(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应 其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是 拉普拉斯变换的简写是LT，其s=σ+jΩ表示有实部的复数角频率，称复数频率，简称复频率，它不但能简化模拟角频率的书写，还能使一些不收敛的傅里叶变换收敛。 滤波器输出y(t)的拉普拉斯变换Y(s)比输入x(t)的拉普拉斯变换X(s)，得到的比例函数称系统函数，即 模拟滤波器的系统函数常用多项式的分式来表示， 其分母的最高次幂N表示滤波器的阶。 模拟滤波器的幅频特性|H(jΩ)|也有用分贝的衰减函数A(Ω)来表示，即 如果|H(jΩ)|max=1，则衰减函数将变为 幅频特性的平方|H(jΩ)|2叫做幅度平方响应，它也是描述模拟滤波器的有效方法。利用系统频谱H(jΩ)的共轭特点，即 （为什么？） 幅度平方响应有这种关系， 这种关系可让设计模拟滤波器的工作，变为解方程。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。 7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计 模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是 从公式来看，它的幅度随频率的增大而变小。例如H(jΩ)在阶N=1或5时，它们的频率响应曲线为 为了得到用复频率s表示的系统，让我们将s=jΩ代入巴特沃斯滤波器的幅度平方响应，就可得到 巴特沃斯滤波器的幅度平方响应的分母有2N个根，确定这些根的依据是 利用-1=ej(2πk-π)来求解方程(7.13)，就能得到这些根 这些根共有2N个，从|H(jΩ)|2=H(s)H(-s)看，有N个根属于系统函数H(s)，剩下N个根属于H(-s)。怎样确定这些根的归属呢？ 先来看式(7.12)的子系统 它对应的单位脉冲响应是 。 按理说，正常系统应该是稳定的。根据定义式(2.78)推理，这种系统的单位脉冲响应h(t)应该满足： 只有sk的实部为负值时，该h(n)才能满足这个条件。 再来看式(7.14)的2N个根sk，因它们均匀分布在s平面半径为Ωc的圆上，在s左半平面的根实部为负值；所以，选择它们作为子系统的极点，得到的脉冲响应稳定，其巴特沃斯滤波器的系统函数 例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率fp=5kHz，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带衰减As=20dB。请设计一个满足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。 解 设计滤波器的关键在确定阶N和3dB截止频率Ωc。下面分四步来设计模拟滤波器。 （1）确定滤波器的阶 根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得到巴特沃斯滤波器的衰减函数 该式有两个未知数，需要两个方程来求解。将技术指 标符号{fp,Ap,fs,As}分别代入衰减函数，可得 两个方程化简后得 将式(7.22)的上下式相除，并取对数，得阶 这是计算巴特沃斯滤波器阶的公式。 将具体的技术指标代入式(7.23)，可得阶 实际的阶N只能是正整数，最好是大于理论值的最小整数。本题取N=3。 （2）确定滤波器的截止频率 在确定N=3的情况下，式(7.22) 的任一公式只有一个未知数，它们都能用来计算3dB截止频率。因N=3大于计算值2.93，故若用通带指标{fp,Ap}计算3dB截止频率，这种滤波器的阻带最小衰 减将大于原来的阻带衰减20dB。 同理，若用阻带指标{fs,As}来计算3dB截止频率，通带最大衰减将小于原来的通带衰减2dB。 现在使用通带指标{5000Hz,2dB}来计算3dB截止频率，即 用这个Ωc验证这种滤波器的阻带最小衰减，将N=3、fc=5468Hz和fs=12kHz代入式(7.20)，得 它确实大于原来的阻带衰减20dB。 （3）确定滤波器的极点 根据极点公式(7.14)和阶N=3，选择位于s平面的左半平面的极点，得系统的极点 （4）确定滤波器的系统函数 根据巴特沃