课件一：矢量代数小结.ppt

* 主讲 刘德金 一．矢量代数一章内容回顾 本章系统介绍了矢量的代数运算及其 规律、 几何 意义.这实质上是阐述了空间 结构代数化的过程。 因为矢量可以运算,因此将几何结构矢量化,也就把 代数运算带到了几何里来了。这一过程可以用下面 的图表加以归纳概括： 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 A 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 1、几何结构矢量化图表 混合积 体积 矢性积 面积 数性积 长度、夹角 数乘矢量、线性运算 放大、缩小，定比分点 矢量的加法、减法 三角形、平行四边形 矢量、径矢 有向线段、点 矢量形式 几何特征 代数结构 几何结构 矢量加法满足 (1) (2) (3) (4) 数乘矢量满足 (5) (6) (7) (8) 数性积满足 (9) (10) (11) 矢性积满足 (12) (13) (14) 我们把矢量的集合记为V，由于V中定义了满 足⑴--⑷的加法和满足⑸--⑻的数乘矢量连中运算, 因此V构成高等代数里讲的实数域上的矢量空间， (或称线性空间);由于V又规定了满足⑼--⑽的数性 积，因此我们称V是欧几里得矢量空间。 因此在空间引进了以有向线段表示的矢量与满 足⑴—⑷的加法运算、满足⑸—⑻的数乘矢量以及 满足⑼—⑽的矢量的数性积，实际上是把空间的几 何结构代数化为欧几里得矢量空间的一个模型。这 样以来就可以把几何里的一些推论转化为这个欧几 里得矢量模型上的以矢量的运算为基础的代数运算， 因此代数的方法也就引入到几何里来了。 数量的关系。这个关系是通过建立坐标系沟通的。 几何结构矢量化，只是将代数运算带到了几何 里来，它可以研究几何里的一些定性问题，如：共 线、共面、中点等。它还不能解决有关定量的问题， 但许多几何问题研究的是数量关系，所以在几何中 要进行数的计算，还要沟通几何结构（或矢量）与 本章是通过矢量引进标架来建立坐标系和坐标 概念的。在空间，给定一点O和不共线的三个矢量 ，则{O； }就叫做空间的一个标架.有 了标架，空间的矢量或点就有了坐标。 3.空间坐标系 在空间坐标系 下 引进坐标以后，空间的点P就与有序数组(x,y,z) 建立了一个一一对应关系，这个关系就叫做空间的 坐标系。在坐标系下，点有了坐标，矢量有了分量， 作为空间点的轨迹的空间图形就有了方程，这就使 得空间结构数量化了。这样不仅把有关几何图形的 问题同矢量的运算联系起来了，而且使得矢量的运 算转化为实数的运算，把几何问题的讨论推进到了 可以进行计算的定量的层面，这样也就达到了数与 形的结合,达到了用矢量方法解决几何问题的目的。 4.主要结论及其代数表示 引进坐标以后,矢量的运算转化为数量的计算. 设在右手笛卡尔直角坐标系 下， 则 5．矢量代数中某些结论（含数量表示） （1） 与 共线(平行) 与 线性相关 不全为零的实数 使 可用 或 可用 线性表出 （2） 共面 线性相关 不全为零 的一组数 使 中至少有一个是另两个的线性组合 若 不 共线，则 使 其中 被