利用Ito公式求布朗运动和几何布朗运动的矩.pdf

第 26卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．26，№．1 2010年 2月 C()IIEGE MATHEMATICS Feb．2010 利用 Ito公式求布朗运动和几何布朗运动的矩 杜晓磊 ， 万建平 (华 中科技 大学 数学系 ，湖北 武汉 430074) [摘 要]利用 Ito公式及 Ito积分的性质求 出了布朗运动和几何布朗运动的矩 的一般形式，同时指 出可 以利用这种方法求其他扩散过程的矩． [关键词 布 朗运动；几何布朗运动 ；矩 ；Ito公式 [中图分类号]02l1．6 [文献标识码]c [文章编号]1672—1454(2010)O1一O175—03 l 引 言 布朗运动是应用概率论中最有应用价值的随机过程之一 ，被有效地应用于如拟合优度的统计检验， 分析股票市场的价格水平及量子力学等领域；几何布朗运动也是一种重要 的随机过程，在期权定价等领 域 中有重要的地位．矩是布朗运动和几何布朗运动的重要数字特征 ，但直接利用定义计算矩特别是高阶 矩 比较 困难 ，故一般利用矩母 函数来计算．本文则是利用 Ito公式及 Ito积分的性质来计算布朗运动和 几何布朗运动的矩 ，并给出了它们 的一般形式． 引理 l(Ito公式) 如果 f(or)是二次连续可微 ，那么对于任意 t， t 1 rf l厂(B(￡))一_厂(o)+1f(B(s))dB(s)+寺I (B(s))ds， √ U J II 其 中B()为布 朗运动． 引理 2j 设 x()是一可料过程，使得 r， lEEX (s)]ds。。， J0 那么 rf Y()一 IX()dB(s)， 04f≤丁 J 0 是一零均值平方可积鞅． 2 布 朗运动的矩 令B(f)为布朗运动，根据布朗运动的性质 ，可以直接得 到EESJ()]：0，E[B (f)]一t，且 EEY ()] 一 ．现计算 B(f)的高阶矩 ． 首先计算 E[B。(￡)]．由引理 1，因为函数 X。二次连续可微 ，且 B(O)一0，所以 rt rt B。()一 I3B。(s)dB(s)+ I3B(s)ds． √0 J0 两边取期望 ，由引理 2得 [收稿 日期 [基金项 目] 国家 自然科学基金 l76 大 学 数 学 第26卷 E[B。()]一o+ I3E[B(s)]ds=O． 再计算 EEB (z)]，同理可得 B (z)一J4B。()dB(s)+J6B (s)ds． 两边取期望，由引理2得 E[B()]一o+f6E[B(s)]ds—I6‘sds一3￡2． 推广至B (￡)，其中n6z，由引理 1得 B())==Jl0B一(s))