华农概率论习题解答关于.docVIP

习 题 三 解 答 1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。 解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是： Y X 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。 解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。 则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12 P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12 P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。 则（X，Y）的联合分布列为： Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下 解：（1）所求联合概率分布为： X 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 （2）所求联合概率分布为： X 0 1 0 45/66 10/66 1 10/66 1/66 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 = （1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P{0＜X≤1，0＜Y≤2}。 解：（1）由概率密度函数的性质知 = =* =1 即 k=12. (2)由定义，有 当时 当时 于是 （3） = ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 5.随机变量（X，Y）的分布密度为 （1）求系数C；（2）求随机变量（X，Y）落在内的概率。 解：（1）由 （利用极坐标运算）得 于是 （2）利用极坐标运算得： =（1-） ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 6.求出在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域． 解：由于面积Ｓ=1/4，所以（X,Y）的联合密度函数为 分布函数分区域讨论 （1） 当 从而 （2） 当 （3） 当 （4） 当 （5） 当 综上可得： 7. 设随机变量（X,Y）的概率密度为 求P｛X+Y｝. 解：P｛X+Y1｝=1–P｛X+Y1｝ =1–= 8：设二维随机变量（X，Y）要区域D上服从均匀分布，其中D 是曲线y=和?y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。 解：面积 则 （a）关于X的边缘概率密度 当时, 当时 所以 （b）关于Y的边缘概率密度 当时, 当时 所以 9．（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件{X=-1，y=1}）？ （2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件 ）？ 解：（1）， 而 根据定义得：X与Y不相互独立。 （2） 10．已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为： 求边缘概率密度与； ， 问X和Y是否相互独立？ 解：（1） 当0≤x≤