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第五章 刚体的转动 一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—转动惯性。转动惯性的大小由转动惯量来量度。改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用 2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。 二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。牢固掌握转动定律并能熟练地运用。 2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。 4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要 1、力矩 定义：力与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积 公式 物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律 公式 J为转动惯量，为角加速度 意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。 说明：为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。 3、转动惯量 定义：即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。 如果刚体上各质点是连续分布的，则有 物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。 应掌握的几种转动惯量公式： 杆对其中心轴： 杆对其一端： 均匀圆盘： 4、转动动能：与平动中的动能相当，是描写刚体转动状态的物理量。 5、刚体定轴转动的动能定理 公式： 意义：表明力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 6、角动量与冲量矩 （1）角动量：，是描写刚体转动运动量大小的物理量，是描写刚体转动状态的物理量。它是一个矢量，其方向为角速度的方向，与平动中的动量相当。它是一个状态量。 （2）冲量矩：，是描写力矩对时间积累作用的物理量，也是一个矢量，其大小为，方向为力矩的方向，它与平动中的冲量相当。它是一个过程量。 7、角动量定理和角动量守恒定律 （1）角动量定理： 其意义表明冲量矩等于角动量的增量 （2）角动量守恒定律： 适用条件：合外力矩为零，即 意义：自然界的基本定律之一，表明了空间转动不变性，即物理规律不会由于坐标系的旋转而发生变化。 四、解题步骤 1、确定研究对象，进行受力分析，求出合外力矩； 2、再考虑研究对象的特点，有无角加速度，选定转动正方向； 3、可首选转动定律来解答习题，次选转动中的动能定理； 4、当涉及角动量与冲量矩时，则应选用角动量定理或角动量守恒定律来解答习题； 5、说明，解决刚体动力学问题，力的分析仍是关键所在。若一系统中既有做平动的物体，又有绕定轴转动的物体时，应注意（1）对系统中的平动物体应逐个分析力，并列出与每个物体相对应的牛顿第二定律方程；（2）对转动物体，也应在分析力的基础上求出对固定轴的合外力矩，然后列出转动方程；（3）由角量与线量的关系，找出平动与转动之间的联系，即；。 五、典型例题 例1、一辆汽车以16.67m·s-1的速度行驶，其车轮直径为0.76m。（1）求车轮绕轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停下来，问角加速度多大？（3）在刹车期间汽车前进了多远？ 解：（1）由，可得 （2），=30转×每转一周所需时间， 但每转一周所需时间=秒 所以 （3）汽车前进的距离： 例2、质量为0.50kg，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求（1）在开始转动时角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度。 解：（1）如图5-1所示，水平位置时棒所受的力矩为重力乘以力臂（等于棒长的一半） 由转动定律得： （2）在棒下落过程中，仅有重力作用，故机械能守恒： 焦耳 （3） 例3、密度为的均匀矩形板，求通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为。其中a为矩形板的长，b为矩形板的宽。 解：由转动惯量的定义，可知，关键在于确定质量元dm等于什么。由于质量是平面分布，可取三维直角坐标系，如图5-2所示。在XOY平面上任取一面元ds，它的面积ds=dx·dy，而质量元。 则质量元dm对Z轴的转动惯量，r为质元到原点O的距离（原点O为平板的中心点）所以整个平板对OZ轴的转动惯量为 上式为一二重积分，首先对变量x积分，再对y积分： 例4、在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1=1.0kg，长l=40cm，可绕通过其中心并与之垂直的轴转动，一质量为m2=10g的子弹