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数学分析课程考试大纲（专业学位） 第一章 实数集与函数 一．考核知识点 1.实数集的性质 2．确界定义和确界原理 3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数 二．考核要求 (一) 实数集的性质 1．熟练掌握：（1）实数及其性质；（2）绝对值与不等式。 2．深刻理解：（1）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（2）绝对值的定义及性质。 3．简单应用：（1）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（2）会利用绝对值的性质证明简单的不等式。 4．综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式。 （二）确界定义和确界原理 1．熟练掌握：（1）区间与邻域；（2）有界集、无界集与确界原理。 2．深刻理解：（1）区间与邻域的定义几表示法；（2）确界的定义及确界原理。 3．简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的的有界性，求数集的上、下确界。 4．综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界。 （三）函数的概念 1．熟练掌握：（1）函数的定义；（2）函数的表示法；（3）函数的四则运算；（4）复合函数；（5）反函数；（6）初等函数。 2．深刻理解：（1）函数概念的两大要素；（2）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（3）函数能够进行四则运算的条件；（4）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（5）反函数存在的条件。 3．简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图象。 4．综合应用：作简单的复合函数的图象，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系。 （四）具有某些特性的函数 1．熟练掌握：（1）有界函数；（2）单调函数；（3）奇函数和偶函数；（4）周期函数。 2．深刻理解：（1）有界函数和无界函数的定义；（2）单调函数的定义及其图象的性质；（3）奇函数和偶函数的定义及其图象的性质；（4）周期函数的定义及其图象的性质。。 3．简单应用：（1）会求函数的上下界，判断无界函数；（2）判断函数的单调性；（3）判断周期函数；（4）判断函数的奇偶性。 4．综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题。 第二章 数列极限 一．考核知识点 1．数列极限的定义 2．收敛数列的性质 3．数列极限存在的条件 二．考核要求 (一) 数列极限的定义 1．熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的定义，数列极限的几何意义。 2．深刻理解：数列极限的“定义”的逻辑结构，深刻理解的任意性，的相应性；用“定义”证明数列的极限的表述方法； “定义”的否定说法。 3．简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性。 4．综合应用：会用“语言”证明数列的极限存在。 (二) 收敛数列的性质 1．熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念。 2．深刻理解：收敛数列诸性质的证明。 3．简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。 4．综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列。 (三) 数列极限存在的条件 1．熟练掌握：（1）单调有界原理；（2）柯西收敛准则。 2．深刻理解：单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题，重要极限的证明方法。 3．简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性。 4．综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散。 第三章 函数极限 一．考核知识点 1．函数极限的定义 2．函数极限的性质 3．函数极限存在的条件 4．两个重要的极限 5．无穷大量与无穷小量 二．考核要求 (一) 函数极限的定义 1．熟练掌握：（1）时函数极限的定义；（2）时函数极限的定义。 2．深刻理解： （1）的 “ε-X定义”的逻辑结构，深刻理解的任意性， X的相应性；用“ε-X定义”证明函数极限的表述方法； “ε-X定义”的否定说法。（2）的 “ε-δ定义”的逻辑结构，深刻理解的任意性， δ的相应性；用“ε-δ定义”证明函数极限的表述方法； 单侧极限和极限存在的充要条件；“ε-δ定义”的否定说法。 3．简单应用：会用“的ε-X定义” 和“的ε-δ定义”证明简单函数的极限。 4．综合应用：会用“的ε-X定义” 和“的ε-δ定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在。 （二）函数极限的性质 1．熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部