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函数连续性在矩阵分析中的应用 在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。 一、预 备 知 识 定义、函数在一点连续的定义：若函数在的邻域包含本身有定义，并且，我们就称在点连续。 定义、函数在某一区间内有定义：若函数在开区间内每一点都连续，也就是说对内任何一点皆成立，则称在内连续，对闭区间来说，在上连续的定义是指：在内连续，同时有，，则称在内连续。 引理、由初等函数的连续性知，多项式在上为连续函数。 定理、（代数基本定理）任意一个n次复系数多项式一定有n个复数根， 其中n1. 定理、设是任意一个n次复系数多项式，n0，则恰有n个复数根，而且，其中是的首项系数。 引理、 证明：由于，故，从而， 于是，证得. 引理、 引理4、对上的任一矩阵A，存在，使得在上有可逆， 其中. 证明：＝ 其中A= 则是关于的多项式，由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。 引理：设n阶实矩阵，若，则。 证明：若，则A的列向量线性相关，故存在不全为零的数， 使 不妨设是中最大的数，则，于是，则，于是，矛盾！ 二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用 对于方阵A，存在等式,特别地，若A可逆就有，但若A不可逆时，这个等式就不成立，在讨论有关伴随矩阵的一些特性时，对A可逆的情况，利用可方便证明相关结论，对A不可逆的情况，往往可利用这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。 2.1、用表示阶方阵的伴随矩阵，证明： 证明： i）当A可逆时，可逆且有 ii)当A不可逆时，令，由引理四，存在定区间，使得可逆，由情形i）知有，从而当时，取极限有. 综合情形i），ii）有结论：＝ 、证明： 证明：i）先证明A,B可逆的情形。 当A,B均可逆时，即，这时有： 即证得 ii)再证明A,B不可逆的情形。 令，则存在公共的，使及均可逆。事实上， ＝ 其中A=， 则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。 同理，＝ 其中B=， 则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。取，则当任意的，均有且，即这时与均可逆，这时由情形i）即有，从而当时，取极限有。 综上所述，无论A,B是否为可逆矩阵，均有成立。 注：在的证明过程中，当A,B可逆时，证明的过程是简单的，利用即可得到，而当A,B不可逆时，与不存在，因此，公式不可用，那么借助与，由行列式的知识知它们的行列式都是的次多项式，再由多项式的知识找出一个区间，使得在这个区间上与的行列式均不为零，即意将情形ii）归为情形i），最后利用函数的连续性得出结论。 设A,B为任意两个方阵，若A~B,则其伴随矩阵也相似，即. 证明：i）当A,B均可逆时，由和有 , (1) 因为A与B相似，故存在可逆方阵P,使得 (2) 两边取行列式得,将（1）式代入（2）式中得到： 因为，所以，即＝, 在等式两边同乘得：，即 于是有， 那么, 从而. ii）当A,B均不可逆时，令，，由引理4，存在，使得在上有与均可逆，且有 ， 即，由情形i）知，从而当时，取极限有. 三、函数连续性在行列式计算中的应用 分块矩阵能简化高阶矩阵的运算，可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中，矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算，并且是一类本身就带有参数的特殊行列式计算，以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。 、 , 其中A,B,C,D且AC=CA 证明：i）先证明A可逆的情形。 (1) 显然,因此对（1）式两边取行列式得到 由于，所以 于是 ii）再证明A不可逆的情形。 记＝ 其中A=， 易知是关于的次多项式。因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，,即可逆。由于AC=CA,故,如果全为零，则同样存在正数，使得对任意，，可逆，并且，于是，由i）中证得的结论，得知 ，上式两端都是关于的多项式，从而是关于的连续函数，因此当时，上式就化为 注：在对分块矩阵的计算中，采取左乘（或右乘）初等矩阵，但当矩阵A不可逆时则要构造函数,找到一个区间，使该函数