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关于函数的若干性质的探讨 作者：王健伟 指导老师：邢抱花 摘要： 数学分析中介绍了函数的性质，但是课本中存在一些缺漏和不足之处。本文将对这些不足之处加以补充，对函数的连续性、可微性、可积性加以详细说明。并以实例辅助理解、 关键词： 函数 性质 连续 可微 可积 Abstract: The mathematical analysis introduces function the nature, but there exist some gaps and textbook deficiencies. This paper will be to these shortcomings of function to be supplemented, continuity and differentiable sex, integrability and explained detailedly. By examples auxiliary understanding Keywords: Function properties continuous differentiable integrable 引言： 函数，作为数学学科中的重、难点，一直都是研究者的宠儿。本文较具体的讨论了函数的性质。在中学阶段，我们就学习了函数的单调性、周期性和奇偶性。此文中，对这三种性质只作一个简单介绍。列为第一部分，而在第二、三、四部分将重点介绍函数的连续性、可微性和可积性。讨论函数的连续性时，我分为一元函数和二元函数，连续和一致连续来讨论。讨论可微、可积时亦是分为一元、二元两节。在介绍时，先列出它们的定义，然后讨论其判断和证明方法，每种方法下面列举例题加以说明。最后，在第五部分将总结出连续、可微、可积三者之间的内在联系，每个联系都配予例题加以说明，使读者一目了然，能在最短的时间内对函数的性质有更进不一步的了解。 第一部分：函数的单调性、奇偶性、周期性 在本部分中，我们将介绍单调函数、奇偶函数和周期函数的定义以及它们的判别方法。 单调性 定义：设为定义在上的函数，若对任何，D，当时，总有 （i）,则称为上的增函数，特别当成立严格不等式时，称 为上的严格增函数。 （ii）,则称为上的减函数，特别当成立严格不等式时，称 为上的严格减函数。 增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。 判别方法： 直接根据定义。 导数法：若在定义域上可导，当 时，为增函数；时，为减函数。 奇偶性 定义：设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有 {} 则称为上的奇（偶）函数。 从函数上看，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。则对于奇偶性的判别可根据定义直接在函数图像上进行观察判断。特别注意的是，在判别之前必须确定函数的定义域是否关于原点对称。 周期性 定义：设为定义在数集上的函数。若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。显然，若为的周期，则（为正整数）也是的周期。若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的基本周期，或简称周期。 同样的，周期性的判别也可以根据定义直接进行判别。特别的，常量函数是以任何正数为周期的周期函数，但不存在函数的基本周期。 第二部分：函数的连续性 本部分我们主要讨论连续性的定义及其证明；一致连续性的定义及其证明；连续和一致连续的关系；全变量连续和单变量连续的关系等 一元函数的连续 定义：设函数在某U（）内有定义。若 则称在点连续。 一元函数的连续性的证明： 直接利用定义，证明： ，，当时，有； 例2.1 证明Riemann函数 在无理点上连续，在有理点上间断。（浙江大学） 证 先证在有理点上间断。设为有理点，（为既约分数），，则。由无理点的稠密性，无理点列（当时），但 ， 即。故在有理点不连续。 再证在无理点上连续，设为无理点，则。 首先，我们从的定义可以看出，，的点，在上最多只有有限个（事实上，要，必须是有理点，若，，则。可见满足此不等式的有理数最多只有有限个）。如此，可取充分小，使得不含有之点，此即 ，有. 这就证明了在内的无理点上连续。又因为以为周期，所以在一切无理点上都连续 利用左右极限，证明： ；