函数的连续性关于.docVIP

第三章　函数的连续性 函数概念与极限相结合，运用极限概念对它加以描述和研究就得出函数连续性概念，连续函数是一类很重要的函数，这类函数在一般函数的研究中起着奠基的作用，它也是高等数学所研究的最主要的对象，它在实际应用中是最为常见的。所以连续性是函数的重要性态之一，它不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径，并在此基础上解决更多的极限计算问题。 所谓连续，就是连绵不断没有任何间隙，反映在图形上是在相应的区间上一笔可以勾画出的曲线 基本内容：基本概念：函数的连续定义，函数的间断点概念； 基本运算：求连续函数的极限，连续函数四则运算及复合运算，判别函数间断点的类别； 基本理论：闭区间上连续函数的性质；最大值最小值定理，介值定理； 具体应用：闭区间上连续函数的最值，方程根的存在性。 本章重点：函数连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。 课标导航 1．掌握函数连续的定义及间断点的概念，对于具体的函数能判明函数的连续区间，并找出间断点，会对间断点进行分类； 2．利用函数的连续性，求函数的极限； 3．能够用闭区间上连续函数的性质分析函数的性质。 一、知识梳理与链接 （一）基本概念 1．函数在点处的连续性 【定义】设函数在点的某邻域内有定义，如果在该邻域内有，则称函数在点连续。 【定义】设函数在点的某邻域内有定义，如果在该邻域内有，则称函数在点连续。 【定义】设函数在点的左侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有，则称函数在点左连续。 设函数在点的右侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有，则称函数在点右连续。 2．区间上的连续 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或说函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。 3．函数的间断点 【定义】不能使函数连续的点就叫做函数的间断点，或不连续点。 4．函数间断点的分类 【定义】若函数在间断点处的左、右极限都存在，则该间断点就称为第一类型间断点； 如果点是第一类型间断点，且函数在点处的左、右极限相等，那么该间断点就称为第一类型可去间断点； 若函数在间断点处的左、右极限至少有一个不存在，那么该间断点就称为第二类型间断点。 （二）定理、性质和公式 1．函数在点连续的充要条件是函数在点不仅是左连续，而且是右连续。 2．连续函数的四则运算 设函数和在点连续，则它们的和（差）、积、商在点连续。 3．反函数的连续性 设函数在区间上单调增加（单调减少）且连续，则它的反函数也在对应的区间上单调增加（单调减少）且连续。 4．复合函数的连续性 设函数是由函数和复合而成，函数在点连续，在点连续，则函数在点连续。 5．【结论】基本初等函数在其定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。 6．在闭区间上连续函数的性质 【最大值和最小值定理】在闭区间上连续函数在该区间上必有界，且一定能取得它的最大值和最小值至少各一次。 【介值定理】设函数在闭区间上连续，且，为介于之间的任意一个实数，则，使得. 【推论】在闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 【方程根的存在性定理】设函数在闭区间上连续，且异号，则，使得. 二、友情提醒与内容强化解读在点连续要求函数在点①必须有定义；②极限必须存在；③极限值等于该点的函数值。 2．函数在点不仅是左连续，而且是右连续，那么函数在点连续，它可以解决分段函数在分界点处的连续性问题。 函数在点不仅是左连续，而且是右连续，说明函数在点的左右极限存在而且相等（反之不真），这是与极限存在的充分必要条件的差异。 3．间断点出现的情形 ①函数在点无定义； ②虽然在点有定义，但不存在； ③在点有定义，存在，但 4．怎样理解函数的连续性是函数在自变量这一点附近的性质？ 图3—1 我们从图象（图3－1及图3－2）直观地来看函数在点处的变化情况： 函数的图象在点附近是一条连绵不断的曲线；而函数的图象在点附近发生间断。 从图3－2可以看出，函数在点处之所以发生间断，是因为 当经过时，函数的值发生了跳跃式的变化。更具体些说，设自变量由点 图3—2 变到另一值，可以看作对有一个增量，这时函数由变到，函数得到对应的增量. 由图易知，当时，函数的增量趋于一个不等于0的定值，也就是线段的长。 但在图3－1中就没有这种现象，而是当时，函数的增量也趋向于0. 这种说法正好刻画了函数连续性的特征，定义也正反映了函数连续性的特征和本质，所以说函数在点的连续性是描述或刻画函数在一点附近的性质。 5．连续概念是建立在极限概念的基础上的，那末它们之间究竟有什么区别？ 由于函数在点的极限，只是考虑在过程中，函数的变化趋向，这与在点的函数值无必然的联系，甚至在可以没有定义。所以，在时函数极限定义中没有考虑的情