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第七节 函数的微分 变到（图2-6），问此薄片的面积改变了多少？ 图2-6 解 设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：. 薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即 . 从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即.由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替，即. 一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为 ， 其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差 是比高阶的无穷小.所以，当，且很小时，我们就可以近似地用来代替. 下面我们给出微分的定义. 定义在某区间内有定义，及 可表示为 ， （1） 其中是不依赖于是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而在点相应于自变量增量的微分，即 . 2、可微设在点可微，定义，得 . 于是，当时，上式取极限就得到 ， 因此，如果函数在点可微，在点也一定可存在），且. 反之，如果在点可导，即 存在，由极限与无穷小的关系定理，上式可写成 ， 其中（当）.由此又有 ， 因，且不依赖于，故上式相当于（1）式，所以可微.，从而函数在点处的微分可以表达为；其二是得到了可微与可导的关系. 定理 函数在点可微的充要条件是在点可导且在点可微. 由微分的定义以及上面的定理，有 ， 上式右端的第一部分是的线性函数；第二部分是比高阶的无穷小，因此当很小时，第二部分可以忽略.在的条件下，第一部分就成了的主要部分，从而有近似公式 ， 通常称为的线性主部. 例1 求函数在时的改变量及微分. 解 ，在点处，，所以 . 当时的微分,. 因此我们规定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数的微分可以写成，从而有.这就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做“微商 为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义. 设函数的图形如图2-7所示，是曲线上点处的切线，设的倾角为，当自变量有微小增量，从图2-7可知，，，则 ， 即 . 图2-7 由此可知，函数的微分有增量时，曲线在点处的切线的纵坐标的增量.近似代替就是用点处的切线纵坐标的增量来近似代替曲线的纵坐标的增量，并且有. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 可以看出，要计算函数的微分，只要导数，再乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式（为常数）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 2、函数的和、差、积、商的微分法则，都可导， （1） 2） 3） 4）3、复合函数的微分法则，根据微分的定义，当是自变量时，的微分是 ； 如果不是自变量，而是的函数的微分为 由于 ， 所以 . 由此可见，不论是自变量还是中间变量，函数的微分形式，这一性质称为微分形式不变性.，求. 解 （1）用公式，得 ； （2）把看成中间变量，应用微分形式不变性，得 . 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量.在求复合函数的微分时，类似地也可以不写出中间变量. 例3 ，求. 解 （1）用公式，得 ； （2）用一阶微分形式不变性，得 . 例4 ，求. 解 应用积的微分法则，得 . 例5 ，求. 解 应用和以及积的微分法则，得 .