函数定义域及求法讲解 关于.docVIP

函数 作者： 刘铁峰 (高中数学 ?赤峰数学一班 ) ?? 评论数/浏览数： 1 / 37 ?? 发表日期： 2011-07-08 16:32:19 ? 性质及其应用 函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点．熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面 ．因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的．一、 函数的定义域及求法??? 1、 分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；??? 2、 对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；??? 3、 正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；??? 4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；??? 5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；??? 6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．[例题]：1、 求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]??? 当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；??? 当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，???????? ①m＜0时，显然原函数定义域不为R；???????? ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，???? 所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．4、求函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．[解析]：［求原函数的值域］??? 由题意可知，即求原函数的值域，???? ∵x≥4,? ∴log2x≥2??? ∴y≥3 ??? 所以函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．5、 函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21????? →? f(x)定义域为[1/2，2] ?????? → 1/2≤log2x≤2?? → √￣2≤x≤4．所以f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、 函数的值域及求法??? 1、 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；??? 2、 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；??? 3、 反比例函数的值域：y≠0 ；??? 4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；??? 5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；??? 6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域???? [解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]??? 先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，??? 由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得， 　　　　　　　　　　因此，原函数的值域为[1/2,+∞) 4、[利用分离变量法和换元法]　设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)?? → t=(y+1)/(y-1) ＞０　∴y1或y-1 5、[利用零点讨论法] ??? 由题意可知函数有3个零点-3，1，2， ??? ①当x-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x???????? ∴y9 ??? ②当-3≤x1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6???? ∴5y≤9 ??? ③当1≤x2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4??????? ∴5≤y6 ??? ④当x ≥2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x???????? ∴y≥6 ??? 综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞) 6、[利用函数的有界性]三、 函数的单调性及应用1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，????2、 单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．[例题]：2、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]???? 由题意可得原函数的定义域是（－１，４），???? 设u=4+3x-x