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函数的奇偶性 [难点]： 　　1、奇函数、偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=-f(x)，f(x)=f(-x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程。所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是奇函数或偶函数： 　　(1)定义域关于原点不对称。 　　(2) f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。 　　2、不是所有的函数都存在反函数。如果确定函数y=f(x)的映射：f: A→B是一一映射，那么这个映射的逆映射f-1: B→A 所确定的函数x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数。习惯上，我们仍用x表示自变量，y表示函数，则把函数x=f-1(y)写成y=f-1(x)的形式。即函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数。 [重点]： 　　1、函数的奇偶性是函数的性质之一，与函数图象关于原点或关于y轴对称的对称性是一致的。根据图象关于原点或y轴对称的对称性是判断函数奇偶性的直观根据。 　　2、根据定义判断函数奇偶性时，要运用以下等价关系： 　　(1) f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 f(x)=-f(-x). 　　(2) f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 f(-x)+f(x)=2f(x). 　　3、确定反函数的步骤是： 　　(1)检查函数y=f(x)的映射是不是一一映射。是一一映射才可以求其反函数。 　　(2)把函数y=f(x)的解析式看作是以x为未知数的方程。解出用y表示x的式子，即得x=f-1(y)，这时函数y=f(x)的定义域和值域分别为x=f-1(y)的值域和定义域。 　　(3)按习惯，自变量用x表示，写成y=f-1(x)的形式。 　　[例题讲解]： 　　例1．判断下列函数的奇偶性： 　　(1) f(x)= 　　(2) f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 　　　　(3) y=(x-1) 　　解：(1)∵定义域x≥0，不关于原点对称，　　∴该函数既非奇函数，又非偶函数。 　　(2)f(-x)=ax2-bx+c, 　　当b=0时，f(x)=ax2+c 　　f(-x)=ax2+c 　　∴ f(-x)=f(x) 　　f(x)为偶函数， 　　当b≠0时f(-x)≠f(x); f(-x)≠-f(x)，此时f(x)为非奇非偶函数。 　　(3)定义域x≠1，定义域关于原点为非对称区间，函数既非奇函数又非偶函数。 　　例2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3)时f(x)=2x, 求当x∈(-6,-3)时的解析式。 　　解：∵f(x)满足f(3+x)=f(3-x)， 　　∴f(x)图象关于x=3对称， 　　设3+x=t, 则x=t-3, 　　f(t)=f[3-(t-3)]=f(6-t) 　　∴ f(x)=f(6-x) 　　x∈(0,3)时，f(x)=2x, 　　6-x∈(3,6),　f(x)=26-x. 　　∵f(x)为奇函数，∴f(x)=-f(-x), 　　x∈(-6,-3)时，-x∈(3,6), 　　∴x∈(-6,-3)时， 　　f(x)=-f(-x)=-26-(-x)=-26+x. 　　例3．求函数f(x)=的反函数。 　　解：该函数在定义域内是单调函数， 　　即该函数的映射是一一映射。（如图） 　　(1)令y=x2+1 (x≤0) 　　x=-(y≥1) 　　(2)令 y=1-x (x0) 　　x=1-y　 (y1) 　　∴ 原函数的反函数为 　　f-1(x)=. 　　例4．求证函数y=(x≠-1)的图象关于直线y=x对称。 　　证明：由 y=(x≠-1) 　　得 y+yx+ x=1 　　(y+1)x=1-y 　　x=(y≠-1) 　　即 y=(x≠-1)的反函数是它本身。 　　∴此函数的图象关于直线y=x对称。 　　例5．若函数f(x)=，求f-1(). 　　解：方法（1）设y=(x≠-2) 　　yx+2y-x=0 　　(y-1)x=-2y 　　x=(y≠1) 　　∴ f-1(x)=(x≠1) 　　f-1()==1. 　　方法（2）：f-1()为求f(x)下的象的原象x， 　　令= 　　3x=x+2 　　x=1. 　　[本周参考练习]： 　　一、选择题： 　　1．下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的函数是（　） 　　A、y=lg(x+)　　　B、y=loga() (a0且a≠1) 　　C、y=　　　D、y=x(+) (a0且a≠1) 　　2．函数f(x)=x|x|-2x在区间[-1,1]上是（ 　） 　　A、偶函数也是增函数　　　B、奇函数也