函数单调性与极值关于.docVIP

函数的单调性与极值 函数单调性的考察，可用当时，比较与的大小来进行判定的.但判定与的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数在某区间上单调增加，其图形是一条沿x轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即；若单调减少，其图形是一条沿x轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？ 定理1 设函数在区间内可导. （1）如果在内，那么在内单调增加； （2）如果在内，那么在内单调减少. 证明 （1）在内任取两点，且，根据拉格郎日中值定理，存在一点（），使 （1） 因为在区间内有，则（1）式中的，而，因此由（1）式知，这就是说在内单调增加. 同理可证明结论（2）成立. 有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数的导数，在时，，但它在区间内是单调增加. 例1 判定函数的单调性. 解 因为函数的定义域为，其导数为，所以在整个定义域内都有，故函数在定义域内单调减少. 有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示. 函数在区间上单调增加，而 在区间上单调减少，且从图3-3上容易看到， 可导函数在单调增加、减少的分界点处的导数 为零，即. 使导数等于零的点（即方程的实根）， 叫做函数的驻点. 因此要确定可导函数的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性. 例2 讨论函数的单调性 解 因为，令，得驻点. 这两点将的定义域分成三个部分：，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“ ”表示单调增加，“ ”表示单调减少） （ 1 + 0 -- 0 + 根据上面的讨论可得：函数在区间和内单调增加，在区间（内单调减少. 另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点. 例3 确定函数的单调区间. 解 函数的定义域为，而，显然当时，函数的导数不存在， 又函数没有驻点. 但当时，有，函数在区间内单调增加； 当时，有，函数在区间内单调减少. 二、函数的极值 定义3.1 设函数在有定义，且对此邻域 内任一点均有，则称是函数的一个极大值；如果对此邻域内任一点均有，则称是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点. 从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点： 函数的极大值和极小值是局部概念， 即如果是的极值，只是对极值点 的左右近旁一个小范围来讲的. （2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5， 极大值就比极小值还要小. （3）函数的极值只能在区间内部取到. 求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如. 定理2（极值存在的必要条件） 设函数在点处导数存在，且在处取得极值，则函数在处的导数，即是函数的驻点. 注意，定理3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数，在处有，但不是极值. 该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点. 对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如，显然，不存在. 但且是它的一个极小值点，在图形上，称为曲线的尖点. 因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件. 定理3 （极值存在第一充分条件） 设函数在点连续，在内可导（可除外），当由小增大经过时，如果： （1）的符号由正变负，则在点处取得极大值； （2）的符号由负变正，则在点处取得极小值； （3）的符号不变，则在点处取不到极值. 证明 （1）由条件，在点左近旁单调增加，在点右近旁单调减少，即当时，有，当时，有，因此在点处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）. 此外还可利用二阶导数来判定极值. 定理4（极值存在的第二充分条件）设函数在内有二阶导数存在且连续，又，如果 （1），则在处取得极大值；（2），则在处取得极小值.（证明从略） 例4 求函数的极值. 解 因为， 令 ，得驻点 ，所以函数有驻点，尖点 列表考察的符号 -2 0 （0，2