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函数与导数专题复习导航 一、考纲与考向 函数与导数是高中数学最重要的知识板块，又是考查数学思想方法，如函数方程、数形结合、分类讨论等的理想素材，因而是高考数学命题中份量最重的一部分内容.高考对函数问题的考查常设置两个客观题，一个解答题，分值在22分左右，约占总分的14%，其考查特点一是以基本初等函数或抽象函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识；二是以基本初等函数为载体，在方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等交汇处设置解答题，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想等综合问题. 高考导数试题的考查特点一是设置客观题，主要考查导数概念、性质、几何意义等基础知识；二是以函数知识为载体设置解答题，主要考查导数的单调性、极值、几何意义和物理意义等主干知识的应用；三是在导数与三角函数、向量、不等式、解析几何、数学建模等知识的交汇处设置试题，主要考查导数的工具性作用、同学们的综合解题能力和数学应用意识、高考导数试题的分值约为17分左右、约占总分11%的左右. 二、知识与方法 1.函数的重点知识有：(1)函数解析式的求法和分段函数的求法；(2)函数的五大性质，特别是函数的对称性、周期性、复合函数的单调性、函数图象变换等性质的应用；(3)指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质及其应用；(4)函数、导数、数学建模与代数推理等交汇问题. 导数的重点知识有：(1)客观题考查导数概念、性质、几何意义、物理意义等基础知识；(2)解答题考查导数在函数的单调性、极值等性质中的应用以及导数工具在代数、几何与数学建模等综合问题中的应用. 2.复习函数时，应立足考纲和基础，搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习.一是夯实基础，知识与能力并重：没有基础就谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来.要认真分析、处理各种关系，加深对函数基础知识系统的整体把握，深入理解有关概念，正确运用有关性质，抓住函数的本质特征，掌握求函数表达式、定义域、值域、最值、单调区间的方法.二是加强对数学思想方法的掌握和运用：对于函数与方程的综合问题，关键是正确运用等价转化思想；对于函数与不等式的综合问题，要主要用运动变化的观点去观察、分析问题，函数方程思想、分类讨论思想和数形结合思想是解决这类问题的关键；对于函数与其他知识的综合问题一般难度较大，应综合运用多种数学思想方法解决.三要注意几点：①在研究函数综合问题时，应首先考虑函数的定义域，并始终考虑变量的范围；②解决含参数的函数综合问题时，常需要应用函数知识对参数进行讨论；③对函数问题进行转化求解时，应保证等价转化. 复习导数，一要夯实基础知识，准确理解导数定义、性质、几何意义、物理意义，牢固掌握“和、差、积、商的导数公式和复合函数的求导法则”；二会运用导数知识解决函数单调性、极值和数学建模问题；三是构造函数，运用导数和函数的单调性质，解决代数式大小比较、不等式证明、参数取值范围等问题. 三、交汇与应用 1.与向量交汇 例1.已知向量=(x2，x+1) ，=(1-x，t) ，若函数f(x)=· 在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围. 分析：根据已知条件先确定函数f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间的关系进行求解。 解：因为f(x)=·=(，x+1) · (1-x，t)=-x3+x2+tx+t ，所以f′(x)=-3x2+2x+t 。 若函数f(x)在(-1，1)上是增函数，则当x∈(-1，1)时，-3x2+2x+t≥0 ， 得t≥3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立。 又g(x)=3x2-2x 是对称轴为x= ，且开口方向向上的抛物线， 故要使t≥3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立，则需t≥g(-1) ，即t≥5. 故所求的t的取值范围是[5，+∞). 点评：本题考查了导数的应用、向量数量积的坐标运算与及二次函数等知识，在知识的交汇点处设计命题的思路和风格非常明显. 2.导数与数列的综合 例2　已知数列{an}中，a1＝t(t＞0)，a2＝t2．当x＝时，函数f(x)＝(an(1－an)x3－(an－an+1)x，(n≥2)取得极值． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式． 分析：首先利用导函数，结合f(()＝0，确定数列{an}的递推关系，然后利用解决递推数列的方法求{an}的通项公式. 解：f((x)＝ (an(1－an)x2－(an－an+1)，则f(()＝(an(1－an)t－(an－an+1)=0,得an+1－an＝t(an－an(1), (n≥2)，所以{an+1－an}是首项为t2－t，公比为t的等比数列， 当t≠1时，an+1－an＝(t2－t)t n(1＝t n+1－t n， 而a2－a1＝t 2－