函数凸凹性与拐点关于.docVIP

§5函数的凸性与拐点 教学目的与要求： 掌握凸函数凹函数的定义 掌握可导函数为凸函数的充要条件 掌握拐点的定义 掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件 教学重点，难点： 可导函数为凸函数的充要条件 拐点的判别方法 教学内容： 作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数和的图象。它们不同的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。 定义1 设为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意实数总有 （1） 则称为上的凸函数. 反之，如果总有 （2） 则称为上的凹函数。 如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。 图6-12中的（a）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中。 容易证明：若为区间I上的凸函数，则为区间I上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。 引理 为上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有 （3） (析) 必要性 要证(3)式成立, 需证 即. 记，则，由的凸性易知上式成立. 充分性 在I上任取两点在上任取一点·即，由必要性的推导逆过程，可证得 , 故为上的凸函数。 □ 注 同理可证，为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点，有 （4） 定理6.13 设为区间上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 对I上的任意两点，有 （5） (析) 要证为I上的递增函数, 只需任取上两点及充分小的正数，证明 成立, 由是可导函数，令时便可得结论. 由于，根据的凸性及引理有 . 在以为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和递增条件，有 移项后即得（5）式成立，且当时仍可得到相同结论 设以为I上任意两点，。由，并利用与， ， 分别用和乘上列两式并相加，便得 从而为I上的凸函数。 □ 注1 论断的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方（图6-14）。这是可导凸函数的几何特征。 对于凹函数，同样有类似于定理6.13的结论。 定理6.14 设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为凸（凹）函数的充要条件是 这个定理的结论可由定理6.3和定理6.13推出。 注2 一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两侧异号的点——二阶导数为零的点、不连续的点和一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分段点, 例1 讨论函数的凸(凹)性区间. 解 由于，因而当时，时。从而在上为凸函数，在上为凹函数。 □ 例2 若函数为定义在开区间（a,b）内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即。 证 下面只证明为凸函数的情形。 必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。 由定理6.13，任取（a,b）内的一点，它与一起有 因为，故对任何总有 即为在内的极小值点（而且为最小值点）。 □ 下面的例子是定义1的一般情况 例3(詹森（Jensen）不等式)若为上凸函数，则对任意 有 （6） 证 应用数学归纳法，当时，由定义1命题显然成立，设时命题成立，即对任意及 ， 都有 现设及 令则由数学归纳法假设可推得 = 。 这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式（8）成立。 □ 例4 证明不等式，其中，均为正数。 证 设由的一阶和二阶导数 可见，时为严格凸函数，依詹森不等式有 从而 即 又因所以 。 □ 例5 设为开区间I内的凸（凹）函数，证明在I内任一点都存在左、右导