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第7章 函数的凸性·曲线的曲率 内容摘要 ①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线(图1)在轴左边是向下弯曲的(称为上凸)， 而在轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。 从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦) 的中点在弧的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的下方。 根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义： 称连续函数在区间内为下凸(上凸)函数，假若对于内任意两点和，都有 (※) 【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。 【注2】还请读者注意，通常说“函数在区间内是下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足琴生(Jesen)不等式 它等价于不等式 （其中和为正数且） 显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。 【注3】若函数在区间内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论 (见专题选讲)。 定理 设函数在区间内有导数。若导数在内是增大(减小)的，则函数在区间内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。 假若函数在区间内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。 判别法 设函数在区间内有二阶导数 ⑴若，则在区间内是下凸函数[因为导数是增函数]； ⑵若，则在区间内是上凸函数[因为导数是减函数]。 ②拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别! 若点是函数的拐点且有二阶导数，则 这是因为，例如函数在点的左边近旁下凸时，由于(见注3)，所以 (极限运算单调性) 且函数在点的右边上凸时，由于，所以 (极限运算单调性) 因此. 同理，若函数在点的左边上凸且在点的右边下凸时，也有. 但是要注意，仅有时，点不一定是函数的拐点。例如函数，尽管有，但不是函数的拐点， 因为 即函数在原点的两边都是下凸的(图5)。 特别，假若函数在区间内有二阶导数,且在点的两边有相反的符号,则就是函数的拐点。此时，当然有 ③勾画函数图形的方法 在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。 ④函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线)。例如，函数的图形 有两条渐近线(图6)。因为它们与轴平 行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方 法很简单。若存在有穷极限 或 则曲线就有水平渐近线 函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数的图形(图7)有两条垂直渐近线.求垂直渐近线的方法也很简单。若函数有无穷间断点，即 (左极限) 或 (右极限) 则曲线就有垂直渐近线.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。 函数图形还可能有斜渐近线。如图8，设曲线上点到直线的距离为. 在直角三角形中， 按定义，直线是曲线的渐近线，当且仅当点沿曲线伸向无穷远时，有；而，当且仅当有常数和，使 或 于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数和： 第一步，先求斜率 因为 且 所以； 第二步，再求截距，即 ⑤曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用） 曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为. 一般情形下，如图9，弧 的全曲率规定为起点A处切线