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函 数 的 凹 凸 性 课题导入 题目：　一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图中的（　　）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养都是十分重要的 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数与都是增函数。但是与递增方式不同。不同在哪儿？把形如的增长方式的函数称为凹函数，而形如的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数为定义在区间上的函数，若对（a，b）上任意两点、，恒有： （1），则称为（a，b）上的凹函数； （2），则称为（a，b）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方; 凸与之间的部分位于弦的上方。 简记为：形状凹下凸上是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率： 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小； 简记为：斜率凹增凸增量 图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）由图可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小；　由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）增量Δｙｉ越来越增量Δｙｉ越来越凸弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．凹凸曲线问题的求法下面我们用增量增量法准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．　一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图中的（　　）． 　解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ． 例1　向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（图中的）（　　）．（1998年全国高考题）　解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ． 例　在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：　前5分钟温度增加的速度越来越快； 　前5分钟温度增加的速度越来越慢； 　5分钟以后温度保持匀速增加； 　5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（　　）． 　Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ． 　解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ． 　注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”． 例　解：易得弓形的面积为=ｘ-ｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的的变化，在ｘ［0，π］上其增量Δｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ［π，2π］上，其增量Δｉ则越来越小，故关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π