函数值域与最值知识点归纳关于.docVIP

函数的值域与最值 ●知识点归纳 一、相关概念 1、值域：函数，我们把函数值的集合称为这个函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。 二、基本函数的值域 一次函数的定义域为R，值域为R； 二次函数的定义域为R，； 当 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为； 数函数的值域为； 对数函数的值域为R； 正、余弦:函数的值域； 正、余切函数,的值域为R。 三、求函数值域和最值常用的方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 （1）观察法(用非负数的性质，如：；；等) 例如：求下列函数的值域：y=-3x2+2;{y|y≥2} 变式：y=5+2(x≥-1)的值域是{y|y≥5} （2）利用基本函数求值域法： 例如 ：下列函数中值域是（0，+ ）的是 （ ） A． B. C. D. 解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为[0, + ）,C的值域为[0,1],D的值域为 [2, + ). 答案：B （3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； 常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； 例如：求值域：y=，；x； ； 解析：通过配方可得 ；开口向上，所以当时，函数取最小值； 当x时，在时，函数的最小值为；最大值在x=3时取到，f（3）=13； 故其值域为[,13]; 同学练习：； 变式1：y＝－x＋4x－1 x∈[-1,3)；（答：【-6，3】） 变式2：求函数y=的值域.（答：（0,5]） 变式3：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）； （4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想； 例如：求函数的值域. 解析：令 （t0），则，故；用配方法求的y的值域为。 变式1：求函数y=3x-的值域.（答 {y|y≤}） 变式2：的值域为_____ （答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）； 变式3：的值域为____（答：）； 变式4：函数的值域为____（答：【，1】）(提示：三角代换) 变式5：的值域为_____（答：）； 变式6：求函数的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。 （5）分离常数法：（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域． （6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如： 例如：求下列函数的值域：y=({y|y}) 变式：函数y=的值域是（ ） A.［－1，1］ B.（－1，1］ C.［－1，1） D.（－1，1） 解法一：y==－1. ∵1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1. 解法二：由y=，得x2=.∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1. 解法三：令x=tanθ（－＜θ＜），则y==cos2θ .∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B 练习： 求函数的值域（答：1y0） （7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值. 例5　求函数y =的最值．[-] 变式：；[1,5] （8）基本不等式法：转化成型如：，利用基本不等式公式来求值域； 设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。 练