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函数与导数大题训练 1已知函数 （I）求f(x)在[0，1]上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 2. 设（e为自然对数的底数） （Ⅰ）求p与q的关系； （Ⅱ）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （Ⅲ）证明：① ② 3．设函数，，． （1）若在上是增函数，求的取值范围； （2）求在上的最大值． 答案 1解：（I）， 令（舍去） 单调递增； 当单调递减. ……………………………………3分 上的极大值 ……………………………4分 （II）由得 ， …………① ……………………5分 设， ， 依题意知上恒成立， ， ，………………………………6分 上单增，要使不等式①成立， 当且仅当 ………………………8分 （III）由 令， 当上递增； 当上递减 ……………………10分 而， 恰有两个不同实根等价于 …………… ……12分 2. 解：（I）由题意： 又 （Ⅱ）由（I）知： ①当p=0时，h（x）=－2x ②当p∈（0，+∞） ③当p＜0时， 只需h（x）≤0，即p≤0时h（x）≤0在（0，+∞）恒成立 综上①②③可得，p≥1或p≤0 （Ⅲ）证明：①即证 设 即…………………………………………11分 ②由①知 设 ∴结论成立…… ………14 分 3．当时，． （1）要使在上是增函数，在上恒成立， 即在上恒成立． 而在上的最小值为，又，． (2)ⅰ)时，在上是增函数， ． ⅱ）时，，得． 当时，；当时，， ． 练习题 1．已知定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有，且 Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的解析式（） 2．已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数R上的奇函数，函数g（x）=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数。 求a的值 （II）若g（x）≤t2+λt+1对x∈[-1,1]及λ所有可取的值恒成立，求t的取值范围。 3. 已知，函数。 （1）当时，求的单调递增区间； （2）若 的极大值是，求的值。 答案 1.解：（1）令a=b=1 求得 2分 又 ∴ 5分 （2） ∴ 令 ∴ 9分 ∴ 数列 是以公差d= 的等差数列 12分 ∴ ∴ ∴ 14分 2 3. （1）当 时， ∴ …………2分 由 得 ，又 ， ∴ ，解得 或 ∴ 的增区间是（-,-2）,[-1，+ ） …………6分 （2） ，由 ＝0，得.… …8分 ， ， 变化情况列表如下： （-，-2） -2 （-2，-） - （-，+） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 时， 取得极大值， 而 ，∴ . …………12分