函数y=f(x)理解与分析周勇关于.docVIP

关于函数y=f(x)的理解与分析 作者：周勇 （湖南省长沙市第七中学 邮编：410003） 抽象函数y=f(x)是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。解法灵活，因此它对发展同学们的 抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。 一、关于定义域的理解与分析 例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f（x）的定义域是［1，4］ 原理：一般地，已知函数的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。 又如：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。 再如：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。 原理：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且， 二 关于值域的理解与分析 例2.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)0. 原理：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 三 关于求值的理解与分析 例3. 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得 原理：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1 解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1. 又如： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 （ ） 原理：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 四、关于解析式的理解与分析 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2) 原理：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。 解:---- （2） ---（3） 原理：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二