几类重要分布.docVIP

第四章 几类重要的分布 【】【】【】【】Bernoulli概型，熟练掌握二项分布、Poisson分布； 2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质； 3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布的数学期望和方差； 4、知道二维正态分布与均匀分布。 【】Bernoulli概型、二项分布、Poisson分布、均匀分布、正态分布和指数分布及其性质 【】【】§4.0 前 言 在第二章中我们曾经研究了随机变量的分布，具体的研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要的分布，因此，在本章中，我们重点研究二项分布、Poisson分布和正态分布，并在此基础上研究其他一些连续型分布。 §4.1 二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 一、泊努利试验（Bernoulli） 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A是否发生。例如在产品抽样检查中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的室出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件与，这种只是两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现称为“成功”，出现称为“失败” 若记 。 把一重Bernoulli试验独立地重复地进行次得到重Bernoulli试验。 【注】：重复是指每次试验中成功的概率不变；独立是指次试验独立进行。 二、两点分布 称服从两点分布，参数为，若,。 当，两点分布就是重要的Bernoulli分布 用Bernoulli分布可以描绘一重的Bernoulli试验。在试验中，若成功的概率为 记 则就服从参数为的一重的Bernoulli分布。记为： 三、二项分布 称服从二项分布。参数为。如果 ， 记为 ，若记 显然满足：(1) 非负性: 0 (2) 规范性: 二项分布描绘的是重Bernoulli试验中成功出现的次数。若记为成功出现的次数，则的可能取值为0，1，2，…,，其相应的概率为： = 事实上，若记： 则 ；共有个项：且两两互不相容。由试验的独立性： Eg1：若在M件产品中有N件废品，现进行有放回的次抽样检查。问共取得K件废品的概率有多少？ 解：由于是有放回的抽样，因此，这是重的Bernoulli试验. 记为“各次试验中出现废品”这一事件，则： ， 设为次抽样检查中所抽到的废品数，则 因此，所求概率为：。 四、二项分布的数学期望与方差 设， 由数学期望的定义： （令）= 即： 由方差的定义： （令） = = == 五、二项分布的Poisson逼近 Th：在Bernoulli试验中，记为事件A在试验中出现的概率，他与试验总数有关，若0, 则对的正整数，有 Proof:令，则,且 则 = = = §4.2 泊松分布—Poisson分布 一、定义：称服从参数为的Poisson分布，若 记为：或， 显然： 为计算方便课后给出了Poisson分布表，见附表1 【说明】历史上Poisson分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的，若把试验中成功概率值很小的事件叫做稀有事件，则由上面TH当充分大时，重试验中稀有事件发生的次数近似服从Poisson分布。这时，参数的整数部分 [恰好是稀有事件发生的最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等，都是稀有事件。 Eg2：在1875年~1955年间的某63年间，上海的夏季（5-9月）共发生暴雨180次，求一个夏季发生次暴雨的概率. 解：每年夏季共有：=31+30+31+31+30=150天。 若每次暴雨以一天计，则每天发生暴雨的概率为=。 则一个夏季发生次暴雨的概率记为， 作为初步近似，可利用Bernoulli概型，由于很小，而较大 ，则：。 二、Poisson分布的数学期望和方差 设，即 （令） = == 所以： Eg3：保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率。 保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0.0020，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从公司领20000元保险金。试问： 保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司赢利不少于100000元、200000元的概率是多少? 解：每年1月1日，保险公司的收入300000元=120，若