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第四章 几种重要的分布 在这一章，我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布 §4.1 常用的离散型随机变量的分布 一、退化分布 在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量以概率1取一常数，即 则称服从处的退化分布。 二、0-1分布 前面我们学习了贝努力试验。对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（和），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验。 在一次试验中，设成功的概率为，，，不同的表示不同的贝努力试验。如检查一批产品中，=0.9，=0.1。 用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量只可能取0，1两个值，它的分布律为 称服从（0-1）分布。 0 1 三、二项分布 由n个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n重贝努力试验。如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。 1.定义：在n重贝努力试验中，每次试验事件发生的概率都为，设为n次试验中事件A发生的次数，则的可能取值为0，1，2， 不难验证（1） （2） 称随机变量服从参数为和的二项分布，记作 的值恰好是二项式展开式中第项的系数。因此我们称该分布为二项分布。 其中，当时，称服从（0-1）两点分布 事件Ａ至多出现m次的概率是 事件Ａ出现次数不小于(不大于( 的概率是 例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，则 于是，所求概率为： 例：一个袋子中装有个球，其中个白球，个黑球（），每次从中任取一个球，查看完颜色后再放回去，一共取了次，求取到白球数的分布。 解：由于是放回试验，每次取球为1次试验，n次取球可视为重贝努力试验，每次取到白球的概率为，故分布为 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果A或,， (3）各次试验相互独立 简单的说：二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布. 例：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验, “成功”的概率为0.8 2.二项分布的期望和方差 期望： 方差： 3.二项分布最可能的值 二项分布中可以取值。使概率取最大值的，记作，称为二项分布的最可能值。 而且从二项分布的图形特点也可以看出来：对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 例：某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。 解　服从二项分布， 是整数，所以时为最大。即取出４个样品时，一等品个数最可能是３或４。 用贝努公式计算的分布律下 0 1 2 3 4 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096 例：某人进行射击，命中率为0.02，射击400次，至少击中2次的概率。 解：由题意。设击中次数为， 可以看出计算量非常大。因此必须寻求近似方法。 说明：尽管每一次射击的命中率非常小，但如果射击的次数很大，命中目标的概率就非常大。 四、普哇松分布 在历史上普哇松分布是作为二项分布的近似函数，于1837年有法国数学家普哇松（Poisson）首次提出。 1.定义 如果随机变量的概率函数为 其中 ，则称 服从普哇松(Poisson) 分布。 利用级数， 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。 在实际中，许多随机现象服从或近似服从普哇松分布。像某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一匹布上的疵点个数；一本书中的错别字个数等等都可近似服从普哇松分布。由此普哇松分布总与计数过程有关，且在一定时间内，一定区域内或一定单位内的前提下进行的。 普哇松分布的方便之处在于其概率的计算可以利用普哇松分布表。查表练习。 2.普哇松定理： 在n重贝努力试验中，事件A在每次试验中发生的概率为（这里与n有关），如果时，（为常数），则对任意的，