几种常用连续型随机变量.docVIP

几种常用的连续型随机变量 给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x), 那么任何与之成正比的函数f(x)∝φ(x), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f(x)是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a, 使得 φ(x)=af(x) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质, 求出 将(1)式代入得: 则 因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为 它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: 指数分布常用来作为各种寿命分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x的某次方xk乘上指数函数e-λx, 即 那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k-1, λ0, 是因为广义积分 只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r=k+1, 因此广义概率密度函数写为 而真实的概率密度函数φ(x)=af(x), 可以给出常数a由下式计算: 这样, 计算的关键就是要计算广义积分, 作代换t=λx, 则x=t/λ, dx=dt/λ, 则, 问题就转成怎样计算广义积分, 这个积分有一个参数r0, 在r为一些特定的参数时, 如当r=1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r为任意的正实数时, 此广义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin, cos这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r, 每给定一个r值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为 因此, Γ分布的概率密度函数的形式为 记作ξ~Γ(λ,r) Γ函数的一个重要性质是(r0)成立 证: 上式用到了定积分的分部积分公式 此外, Γ(1)=1, 因 则Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3·2·1=3!，… 一般地有 Γ-分布的数学期望和方差计算如下: 当r=1时, Γ-分布就是指数分布, 当r为正整数时, 为r阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang), 在排队论中用到, 如, 在接完一个电话之后又接了r次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了r次故障的时间. 当r=n/2(n是正整数), λ=1/2时, 称为具有n个自由度的χ2-分布, 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一. 一个重要结论, 当有若干个参数λ都相同的相互独立的服从Γ-分布的随机变量相加得到新的随机变量, 则此新的随机变量也服从Γ-分布, 其λ参数仍然不变, 而r参数则是各个随机变量的r参数相加. 即如果ξ1~Γ(λ,r1), ξ2~Γ(λ,r2),…,ξn~Γ(λ,rn)两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn~Γ(λ,r1+r2+…+rn) 此性质最常用到的地方, 就是当有k个相互独立的服从自由度为n1,n2,…,nk的χ2-分布的随机变量ξ1,ξ2,…,ξk相加得到的随机变量ξ=ξ1+ξ2+…+ξk服从自由度为n=n1+n2+…+nk的χ2-分布 4.6 正态分布 正态分布也叫高斯分布，是最常用的一种分布，用来描述许多误差或者大量随机变量之和的分布。 标准正态分布 在讨论正态分布之前，先讨论标准正态分布。说随机变量ξ服从标准正态分布，是指它的概率密度函数为 证明如下： 令, 则 上式= 上式利用了普阿松广义积分公式 普阿松积分公式的证明： 假设 则 积分范围在整个平面，作极坐标变换，令 上式=因此 由于φ0(x)为偶函数, 因此Eξ=0, 利用定积分的分部积分公式 令则 因此标准正态分布的数学期望为0, 方差为1. 一个一般定理, 如果ξ~φξ(x), η=σx+μ, σ0, 则Eη=σEξ+μ, η的分布函数为 对两边求导得η与ξ的概率密度间的关系为: 现在, 当ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数σ再加上一个常数μ, 得到的随机变量就服从一般的正态分布, 其概率密度为 如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N(μ,σ2), λ φ(x) x x -1 1 0 φ0(x) x μ-σ μ-σ 0 φ(x) μ x 0 φ0(x)