傅里叶级数工科.docVIP

最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 ? 1.?什么是投影 ??? 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？ ??? ? ? ??? 我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv?这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是?(u-cv)T?v?=?0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。 ? （1） ? ? 2.?向量在一组正交基上的展开 ??? 在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式 ?（2） ? ??? 从图上来看，(2)?式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以?(2)?式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用?(1)?式就可以得到如下的表达式： ?（3） ? 3.?傅里叶级数的几何意义 ??? 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把?(1)?式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为： ?（4） 其中系数表达式如下： ?（5） ? ??? 我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x)?可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开， ?（6） ? ??? 这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner?product）为零。?“内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot?product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间?[a,b]?上的两个实函数 u(x),v(x)?来说，它们的内积定义为 ?（7） ? ????正交基?(6)?中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面?(5)?式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。 ??? 现在的问题是我们不能直接用?(1)?式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把?(1)?式中分子分母的点积分别替换成?(7)?式。那么?(5)?式中的所有系数马上可以轻松的写出： ?（8） ? ?? 值得注意的是，(8)?式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l]?还是?[0,2l]，答案都是一样的。 ?? 有同学会说，老师上课教的是对?(4)?式两边乘以1，cos(nπx/l)，或 sin(nπx/l),?然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到?(5)?式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。 ?? 熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一