例谈二次函数最值问题求解策略.doc

二次函数分类解法举隅，当时，求函数f(x)的最大值与最小值。 解析：时， ，所以时，时， 点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出；由于二次函数最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出最值。 二、对称轴位置、给定区间确定，开口方向不确定 例2求的最值 解析：二次函数开口方向不确定，对称轴和给定的区间确定，对称轴方程为x=, 当时, 当时, 点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。 三、开口方向、给定区间确定，对称轴位置不确定 例3 已知函数，求f(x)在x∈[－1，1]上的最大值和最小值． 解析：函数（注意：不能由此得到最大值为，因为这里定义域不是一切实数）函数图象的对称轴为：x＝，对对称轴的位置分四种情况讨论： ①－1② 1③－1≤≤0 ④0≤1如图所示： 由图可得：当－1，即t－2时，, 当1，即t2时，． 当－1≤≤0，即－2≤t≤0时，， 当0≤1，即0t≤2时, ，， 点评：结合二次函数的图象，考虑对称轴与所给区间之间的关系，先讨论对称轴在区间左右两侧，再讨论对称轴在区间中间，由易到难。 四、开口方向、对称轴位置固定，给定区间不确定 例4、（2002年全国）设a为实数，函数，求f（x）的最小值． 解析：由已知 （1）当时，． ①若，则； ②若，则 （2）当时，． ①若，则；②若，则 综上所述，当时，；当时，； 当时，． 点评：将函数转化为分段函数，对每一段函数，按对称轴与定义域区间的位置关系合理分类，利用数形关系结合单调性解出，最后再将结论进行综合。 五、给定区间固定，开口方向和对称轴位置不确定 例5、求二次函数 在区间 的最大值。 解析：1当a0时， ①当，即时， ②当，即时， 2当a0时， ①当矛盾，f(x)无最大值。 ②当时， ③当时 点评：当二次函数给定区间固定，开口方向和对称轴位置不确定时，需分两种情况讨论，当a0时，根据对称轴和区间的位置关系，结合图象需分两种情况讨论，当a0时，需分三种情况讨论。 六、开口方向确定，给定区间和对称轴位置不确定 例6、已知，求的最小值． 解析：将代入u中， 得 ①，即时，；②，即时，．所以 点评：当二次函数开口方向确定，给定区间和对称轴位置不确定时，要考虑对称轴和所给区间的位置，此题只需分两种情况讨论即可。 七、已知最值求参数的范围（逆向性问题） 例7已知f（x）=x2－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________________ .解析：f(0)=3,通过画二次函数图象知m∈［1，2］ 例8、已知函数在区间上的最大值为，最小值是，求m，n的值． 解析1：讨论对称轴中1与的位置关系． ①若，则，解得；②若，则，无解；③若，则，无解；④若，则，无解．综上， 解析2：由，知，则，f（x）在上递增．所以，解得 点评：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了． 以上8个例题从7个方面介绍了二次函数 4