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高等数学之重积分应用
* 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时,相应地部分量可近似地表示为 的形式,其中 在 内.这个 称为所求量U的元素,记为 ,所求量的积分表达式为 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 1。平面图形的面积 由二重积分的性质,当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 对三重积分而言 则曲顶柱体的体积为 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 计算由曲面 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 由对称性得 例1 解二 用三重积分 所围成的立体的体积 解一 (用极坐标) 解二 是柱形区域,用柱坐标 例2 ①.设曲面的方程为: 如图, 3。曲面的面积 曲面S的面积元素 ②.设曲面的方程为: 曲面面积公式为: ③.设曲面的方程为: 曲面面积公式为: 同理可得 解 曲面的方程为 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 (由对称性) 例4 计算圆柱面 被圆柱面 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 例5 面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量 体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量 4。质量 5。平面薄片的重心 由元素法知 若薄片是均匀的,重心称为形心. 解 6。平面薄片的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 解 解 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 7。平面薄片对质点的引力 由积分区域的对称性知 所求引力为 解 几何应用:曲面的面积 物理应用:重心、转动惯量、 对质点的引力 (注意审题,熟悉相关物理知识) 以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用,其实对三重积分也有实际应用问题,如体积、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等,所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念,建议大家类比地写出,以加深理解。 小结: 1。平面图形的面积 2。空间立体的体积 3。曲面的面积 曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D 关于重积分应用 *
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