课件三：曲面论基本定理.ppt

* 通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面 我们就可以得到它的两个基本形式： 曲面 的各种曲率完全由它的两个基本形 式决定。因为曲率是用来描述曲面的形状的，所 以如果我们知道了曲面的第一第二基本形式后,也 就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问 形式完全确定？说得详细一点,如果给出了u,v的 题：曲面在空间的形状是否由第一第二基本形式 两个二次微分形式 我们能否确定一个 曲面 使它的第一第二基本形式恰为上述 所给出的两个微分形式？ 一般说来，这个反问题不可能有解。因为确定一个曲 面需要三个函数x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一第二基 本形式是由这三个函数确定的，也即第一第二基本形式中 的六个函数E(u,v),F(u,v), ……N(u,v) 有联系。反过来说 如果这六个函数之间没有联系，就不可能确定一个曲面。 y(u,v),z(u,v)。所以这六个函数只有三个是独立的。也就 是说这六个函数之间有三个关系式。这一节的目的就是要 寻找这三个关系式,称为高斯—科达齐—迈因纳尔迪公式， 并将证明定理：给出两个二次微分形式，如果它们满足 它的第一第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式. 由六个函数确定一个曲面，就是确定三个函数 x(u,v), 高斯—科达齐—迈因纳尔迪条件,则存在一个曲面 为了把一些式子表达的更有规律些，本节将 采用以下一些新的记号，以后将同时采用这一套 符号和以前采用的记号。记 5.1 曲面的基本定理和克里斯托菲耳（Christoffer)符号 在曲线论中，曲线的三个基本向量的导向量可以用三 个基本向量来表出,即有伏雷内(Frenet)公式。 在空间给出一个 类曲面S： 它确定了向量 那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢？ 表出的系数是什么呢？ 结论 对于 ,我们有 这式称为曲面的基本方 程。第一式称为高斯方程，第二是称为魏因加尔吞方程。 其中 称为第二类克里斯托菲耳 符号，也记 叫做第一类克里斯托菲耳符号。而 证明 我们设 （*） 下面我们确定这些式子的系数 因此得 （1） ,简称克氏记号.而[ij,l]= 作 将(*)的第一式点乘 因为 对此式求导数得 所以 即： 两边左乘 得 即 （*） 下面确定（*）中第二式的 用 点乘（*）中第二式的两边得： ,I,j=1,2 因此（像求 一样）得 (2) 将(1)(2)带入( *) 即得所证关系式 并且 注：采用过去的记号： 于是得六个系数 如下： 对于正交网来说，F=0,这时 而 在正交网下，F=0 , 可有下面的统一表达式 第一类黎曼曲率张量定义为： 一. 黎曼(Riemann)曲率张量 容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式： 注 I, j,k取值为1，2 。后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。 第一类黎曼曲率张量定义为： , m,I,j,k=1,2( ) 二. Gauss-Codazzi-Mainardi 公式 命题 （1）高斯公式： （2）科达齐-迈因纳尔迪公式 证明 对基本方程中的高斯方程求导数得： 再把基本方程带入上式得 类似的： 所以 是线性无关的向量，比较 的系数得： 因为曲面是 类的，所以 比较 的系数得： 命题得证。 推论 第一黎曼曲率张量满足以下恒等式： 说明(1)由推论知， 这16个分量中只有一个 是独立的。事实上,由 ,独立的还有 再由 知，独立的只有 。 (2)科达齐-迈因纳尔迪公式中,j=k是恒等式,而j,k对调方程不变.故可令j=1,k=2,于是再依次令I=1,2即可知该公式中只包含两个独立式,即I=1,j=1,k=2和I=2,j=1,k=2时的两个。 *