计算机图形学 第5章 曲线曲面1.ppt

* * 5.5.2??贝齐尔曲面的性质 * * 除变差减少性质外，贝齐尔曲线的其它性质都可推广到贝齐尔曲面。 1．控制网格的四个角点正好是贝齐尔曲面的四个角点，即 p(0,0)=b0,0, p(1,0)=b1,0, p(0,1)=b0,1, p(1,1,)=b1,1 2．贝齐尔网格最外一圈顶点定义了贝齐尔曲面的四条边界；贝齐尔曲面的边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关；…。 b30 b21 b31 b32 b22 b12 b02 b01 b00 b10 b20 * * 3．几何不变性。 4．对称性。 5．凸包性质。 6．移动一个顶点，将对曲面上参数为u=i/m，v=j/n的点产生最大的影响。 * * 贝齐尔曲面（m=2,n=3） b30 b21 b31 b32 b22 b12 b02 b01 b00 b10 b20 * * 5.5.4??? 贝齐尔曲面片的分割与三角化 为了便于对曲面作求交、消隐及明暗处理，常用平面多边形网去逼近曲面，这就需要对曲面进行分割。在所有张量曲面中，贝齐尔曲面的分割最为简单方便，而其它的张量曲面都可以转化为贝齐尔曲面。许多造型和动画系统都把贝齐尔曲面作为最终的表示形式。 下面将简介贝齐尔曲面分割。 * * 贝齐尔曲线的分割 * * 1. 贝齐尔曲面的分割 * * 贝齐尔曲面的分割 这样的分割可以一直进行下去。简单的分割是将曲面分割成同样的层次，而形成一个个小的子曲面片。然后用四边形（以子片的四个角点确定）代替子曲面片，每个四边形再进一步分成两个三角形。但这种分割将产生较多的多边形，给后续处理增加了工作量。讲义中介绍了一种适应性分割的方法。 * * 简单分割 * * 2. 适应性分割的平坦性条件 当某个子片满足平坦性条件时，则终止对该子片继续分割。把满足平坦性条件的子片用四边形（由子片的四个角点确定）代替。因此，平坦性条件应包括子片四条边界的直线性条件和平面性条件。 见讲义 。 * * 3.???适应性分割的数据结构 因适应性分割造成相邻的子片分割层次不同，因此，如果以简单方法连接三角形，会在边界产生裂缝。为了下面的三角化处理，消除裂缝，需要为适应性分割曲面片的过程和结果建立一个数据结构。曲面片的分割过程自然地形成一个层次结构，它可用一棵四叉树表示，如图所示。 * * 4. 适应性分割产生的裂缝 r q 因适应性分割产生的裂缝 * * 3.???适应性分割的数据结构 四叉树 对应的编码 * * 5. 三角化处理 三角化处理是将每个平坦的以四边形表示的子片进一步分割成若干个三角形，使整张曲面由三角形网逼近。它有两个作用：一是将平坦子片由原空间四边形改换成平面三角形表示，以便进行后续处理；二是消除由于适应性分割沿相邻曲面片和子片边界产生的裂缝。在进行三角化处理时，查找叶结点的同层次邻居是关键的一步。 * * 一张经处理后的贝齐尔曲面 * * * * * * 5.6 B样条曲面 B样条曲面是B样条曲线的推广，在工程上得到了最广泛的应用。 * * 5.6.1 B样条曲面及其性质 B样条曲面是B样条曲线的推广。给定（m+1）×（n+1）控制顶点的阵列，构成一张控制网格。又分别给定参数u和v的次数k和l及两个节点矢量 就定义了一张k×l次张量积B样条曲面。其方程为 * * B样条曲面的方程 * * B样条曲面也具有局部性质，定义在上的B样条曲面片仅与控制顶点阵列中的（k+1）×（l+1）个顶点有关，而与其它顶点无关。故相应的B样条曲面片表达式为 * * 类似贝齐尔曲线性质向贝齐尔曲面的推广，除变差减少性质外，B样条曲线的其它性质都可推广到B样条曲面，这里不再赘述。值得指出的是：B样条曲面是由(m-k+1)(n-l+1)个B样条曲面片拼接而成的，每两相邻曲面片间都自然达到了参数连续Cm-r或Cn-r，r是对应节点的重复度。常用的双三次B样条曲面如内节点的重复度均为1时，每两相邻曲面间都自然达到了C2连续 。 * * 与B样条曲线分类一样，B样条曲面沿任意参数方向按所取节点矢量不同可以划分为四种类型：均匀、准均匀、分片贝齐尔和非均匀B样条曲面，如图给出了其中的两种。 * * 1. 反算的一般过程 设计曲线外形时，可以把反算出的控制顶点作为初始控制顶点，设计人员若对已知曲线形状有不满意之处，可以通过调整初始控制顶点进行修改，直至满意为止。 * * B样条曲线的反算 * * 反算B样条曲线控制顶点的提法是：给出一组数据点pi,i=0,1,…,n和次数k，反算出一组控制顶点，使该组顶点确定的一条次B样条插值曲线顺序通过数据点pi,i=0,1,…,n 。为此，反算时一般使曲线控制多边形的首末端点分别与首末数据点重合，使曲线的分段