计算机图形学 6曲线曲面.ppt

计算机图形学 讲授： 郝旺身 E_Mail：haows@126.com学时：48 第一章 绪论 1 第二章 直线与直线的图形 3 第三章 多边形 6 第四章 二次曲线 4 第五章 裁剪 6 第六章 曲线曲面 4 第七章 图形变换 2 考试 2 第六章 曲线曲面 1 曲线和曲面的基础知识 2 曲线的生成 3 曲面的生成 常用的曲线可以分为两类: ? ? 规则曲线 ? ? 不规则曲线(拟合曲线（主要三类）） ? ? ? ? Hermite曲线 ? ? ? ? 三次 Bezier曲线 ? ? ? ? B样条曲线 6.1.1 曲线和曲面的基础知识 在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶等产品的外形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。 一、曲线和曲面的表示 表示曲线和曲面的基本方法有两大类、三种：非参数表示法（显式表示法、隐式表示法）和参数表示法。 （1）非参数表示法 （a）显示表示法 y=f(x) 一个x值与一个y值对应 缺点：不能表示封闭曲线或多值曲线例如，不能显式表示圆或椭圆。6.1.1 曲线和曲面的基础知识 6.1.1 曲线和曲面的表示 （b) 隐式表示法 平面曲线方程写作：f(x，y)=0 的形式 给定x，无法准确的给出确切的y。能表示封闭曲线和多值曲线。 优点：易于判断函数f(x，y)是否大于、小于、等于0，即易于判断点和曲线的相对位置关系。（画圆、画直线时都是这样）。 非参数表示曲线存在的问题： 1.无法表示斜率为无穷大的情况； 2.与坐标轴有关； 3.对于非平面曲线、曲面，难以用非参数化函数表示。 6.1.1 曲线和曲面的表示 （2）参数法曲线、曲面上的任一点的坐标，表示成参数的函数。 假定用t表示参数，二维平面曲线上任一点P可表示为：P(t)=[x(t), y(t)]； 空间曲线上任一三维点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 例如，过点P1（2，3）、P2（6，8）的参数方程为： P(t) = P1+(P2-P1)t ＝[2,3]+[4,5]t t∈[0, 1]; 6.1.1 曲线和曲面的表示 参数表示法的优越性： 1.可以满足几何不变性的要求。 2.有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。写成参数表示形式为： 8个参数可用 6.1.1 曲线和曲面的表示 （3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）用切矢量代替了斜率，即： 便于处理斜率为无穷大的情形。 斜率与切矢量的长度无关。 6.1.1 曲线和曲面的表示 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 二. 位置矢量、切矢量、曲率 一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为： x=x（t），y=y（t），z=z（t），0≤t≤1； 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 其一阶、二阶和k阶导数矢量（如果存在的话）可分别表