定积分在几何上的应用1求平面图形的面积.doc

定积分在几何上的应用——求平面图形的面积 　　定积分的定义和计算方法前面已经讲过了．定积分的定义包括：分割、近似、求和、取极限的一系列步骤．在用定积分解决具体问题时，可根据上面的步骤将所求的量表达成定积分的形式，剩下的就是计算了．在处理定积分问题时，有人常用“微元法”这种表达方式，特别是在物理问题中．微元法和定积分实际上是一回事．下面简单说明一下． 　　用“微元法”解题的基本程式： 　　 (1)选取合适的坐标系，即积分变量的坐标轴，例如x轴，定出其范围：区间[a，b]．注意：计算的繁简与坐标的选取有直接关系． 　　 (2)在上述区间内任取一小段[x，x＋Δx]，x是任意点，增量Δx＝dx，dx是自变量的微分． 　　 (3)将所求的量Q在小区间[x，x＋Δx]上的值ΔQ表示成如下的形式： ΔQ＝f(x)Δx＋0(Δx) ① 　　 0(Δx)表示一个比Δx高阶的无穷小量，当Δx→0视为无穷小量，即 　　 说明 f(x)Δx是Q的增量的线性主要部分，即dQ．因此，ΔQ＝dQ＋0(dx)．记ΔQ≈dQ＝f(x)dx．≈表示两边的量只相差一个比Δd高阶的无穷小量． 　　 (4)求和：Q＝∑ΔQ＝∑dQ＋∑0(dx)＝∑f(x)dx＋0(1)．其中，0(1)表示 　　 　　 (5)令Δx→0，取极限得： 　　 这里面第(3)步是最关键的，即要求出可求量的微分(或称微元)，有了①式后可以直接写出③式，而第(4)、(5)两步均可略去，因此用微元法推导定积分表达式时可以省去书写定义中的和式． 　　 (6)用计算定积分的方法算出③式的值Q． 　　在下面介绍定积分的应用时，我们将采用微元法这种表达方式将所求的量写成定积分，再进行求解． 　　我们已知知道，在直角坐标系(x，y)中，由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，直线x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积S正是f(x)在[a，b]上的定积分．特别要注意条件“f(x)≥0，a≤x≤b”，只有此时，才有 　　 一般平面图形是由若干条曲线段(包括直线段)围成的，可以将它的面积写成相应的曲边梯形面积的和或差．在解题时要先画出草图，了解图形的大致情况，确定函数f(x)≥0和≤0的部分，并计算出边界曲线段的交点，将其作为相应积分的上限、下限． 　　 例如，由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)≥g(x))与直线x＝a，x＝b(a＜b)所围图形的面积是 　　 　　 若曲线由极坐标方程r＝r(θ)α≤θ≤β给出，则该曲线与射线θ＝α，θ＝β(α＜β)所围成的平面图形面积为 　　⑦式的推导如下： 　　如图1，取θ为积分变量，曲线上取一小段，A(r(θ)，θ)，B＝(r(θ)＋Δr，θ＋Δθ)． 　　 扇形OAB的面积与扇形OAC的面积(OC＝OA)相差不超过Δr·rΔθ，但Δr＝dr＋0(dθ)＝rdθ＋0((dθ)，因此误差是rr(dθ)2＋0((dθ)2)＝0(dθ)． 　　 　　 　　 　　由“微元法”可得⑦． 　　 例1 求抛物线y＝x2与直线y＝x，y＝2x所围成图形的面积． 　　 解 如图2，它们两两的交点有三个：O，A，B． 　　 　　 得 x＝0，x＝1， 　　 即交点O(0，0)，A(1，1)． 　　 　　 即交点O(0，0)，B(2，4)． 　　 由图可知积分应在[0，1]和[1，2]两段上进行，用⑤式： 　　 　　 例2 求抛物线y2＝2x与直线x－y＝4所围成图形的面积． 　　 解法1 先求出抛物线与直线的交点：(2，－2)，(8，4)． 　　 以直线x＝2将图形分为两部分，如图3．左半部分面积为S1，右半部分为S2． 　　由对称性，得 　　 　　由公式⑤得 　　 　　故所求图形的面积 　　 　　 解法2 取y为积分变量，则可直接用⑤式得到所求面积 　　 　　 (由此例可见坐标的选取能简化计算) 　　 例3 求抛物线y2＝x与半圆x2＋y2＝2(x＞0)围成图形的面积． 　　 　　 解法1 由图形关于x轴对称，考虑y≥0部分． 　　 　　 　　 　　 解法2 对取y积分，－1≤y≤1，由⑤式得面积为 　　 　　 　　 解法3 仍对x取积分．注意所求面积等于半圆面积减去所剩下面积S1．根据图形是关于x轴的对称性和⑤式得 　　 　　 　　 解 由参数方程x＝acosθ，y＝bsinθ，及椭圆关于x轴、y轴皆对称，易得 　　 　　 　　请读者试用直角坐标下的积分表达式，进行变量代换计算． 　　例5 求三叶线r＝asin3θ围成图形的面积． 　　 解 由r≥0，可知θ的定义域是： 　　 　　 因此该曲线的形状如图5，有三片叶子． 　　由对称性知三片叶子是全等的，故可用极坐标下的面积公式⑦来计算． 　　 　　习题： 　　 1．求曲线y＝x3和直线y＝2x所围图形的面积．