第六节克莱姆法则.doc

1.证明: (1)； (2)； 例 计算 三、拉普拉斯（）展开定理 【定义1.7】在阶行列式中，任取行列，位于这些行、列交叉位置上的个元素按原有的相对位置排成的阶行列式称为的一个阶子式.在中划去所在的行和列，由余下的阶行列式并冠以符号称为子式的代数余子式.其中分别为的行标和列标. 【定理1.2】（展开定理）在阶行列式中， 任取行后，位于这行的所有阶子式与其代数余子式乘积的和等于.（证明略） 【性质】块行列式的性质：（拉普拉斯定理的特例） . 证明: 对上述行列式可以通过倍行加，将左上行列式化为下三角行列式，对上述行列式可以通过倍列加，将右下行列式化为下三角行列式，进而证明. 令 ； 对实施倍行加， 对实施倍列加，可以分别将， 化为两个下三角形行列式，从而得到 . 例5 证明 范德蒙德（）行列式 . 证明 利用数学归纳法. （1）因为 ， 即当＝2时结论成立. （2）假设结论对－1阶范德蒙行列式成立，为此将降阶 . 例4 计算行列式 解 加行加列得 【将上述箭形行列式化为三角形行列式】 ＝. 此题还有其他算法吗？ 例6 计算阶行列式 【循环行列式：各行加给第一行，再提取公因式得】 解 【注意相邻列的关系从最后一列开始，每一列减去前面相邻一列得】 【降阶计算，按第一列展开得】 【循环行列式，各行加给第一行得】 【用行列式的定义计算其值：唯一一个非零项其取自次对角线上元素的乘积并冠以符号.最后化简结果.】 ＝. 例7 计算阶三对角行列式 解 （递推）易见 ， ， 当时，将按的一列展 即，也即 因为 ， 所以 （2）×－（1）×，得 因此 ． 注意，当时，． 第七节 克莱姆(Cramer)法则 教学目的：掌握克莱姆法则的实质，注意公式中相应元素的符号； 能正确运用克莱姆法则解有个未知数且有个方程的线性方程 组；并用关定理解决与线性方程组根有关的问题. 教学过程： 一、非齐次线性方程组 线性方程组， 当常数项不全为零时称为非齐次线性方程组. 当常数项全为零时称为齐次线性方程组. 1.【定理1.3】（克莱姆法则）含有个方程的元 线性方程组 （1） 的系数行列式时,方程组有解且有唯一解 . 其中 ， （）. 证明: 用乘以第个方程,得 ,, 那么, （注意：上式中只有的系数不为零，其余各项系数全为零.） 于是 , 由于,所以,. 另证： 由于,所以， 故 （）；有解且解唯一. 2.【定理】如果个方程的元线性方程组 无解或有多不同的解，则它的系数行列式必为零. 例1 用克莱姆法则解方程组 . 解: 线性方程组有解， 例2 设曲线通过四点（1，3）、（2，4）、 （3，3）、（4，－3），求系数. 解 将四点的坐标代入曲线方程，得线性方程组 ，其系数行列式 （范德蒙行列式）. 又 . 由克莱姆法则得方程组有惟一解 . 练习. 用克莱姆法则解下列方程组： （1） 解 ，线性方程组有解， 故方程组的解为. （2） 解线性方程组 解: 线性方程组有解， , . 二、齐次线性方程组 【推论1.2】如果个方程的元齐次线性方程组 的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解. 即.从而，上述方程有非零解的充要条件是 系数行列式. 注意：含有个方程的元齐次线性方程组 一定有解,至少有一组零解. K为何值时，方程组有非零解 解: ∴ 或方程组有非零解. 例4 问为何值时，齐次线性方程组 有非零解. 解 ， 由齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式得 故当或或时，齐次线性方程组有非零解. 例5 为何值时，方程组有非零解？ 解 时， 方程组有非零解. 小结：1.对未知数个数与方程个数相等的线性方程组：系数行列式 是方程组有惟一解的充要条件；并且此时齐次线方 程组只有零解. 系数行列式是齐次线性方程组有非零解 的充要条件.非齐次线性方程组无解和有非零解,系数行列式 . 2.正确计算系数行列式与分子行列式.在计算分子行列式时首 先注意要正确写出分子行列式.注意解为 . 3.齐次线性方程组一定有解，至少有一组零解.当系数行列式为 零时有非零解. 4.非齐次线性方程组在系数行列式等于零时，可能无解，也可能 有无穷多组解. 布置作业： 易犯错误：解线性方程组时，计算问题较多.对齐次线性方程组的解 与系数行列式间的关系未弄清楚.另外“或”与“且”不能正确运用. 不能正确写出分子行列式. 14