第五节数学建模——最优化.doc

第五节 数学建模——最优化 在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题．如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等．此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题． 分布图示 最大值最小值的求法 ★例1　　　　　★例2 ★ 例3 ★例4 ★例5 ★ 例6 ★例7 对抛射体运动建模 ★例8　　　　　★例9 在经济学中的应用 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★例16 内容小结 ★课堂练习 习题3-5 返回 内容要点 一、求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题. 求函数在上的最大（小）值的步骤如下： （1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值； （2） 对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点. 二、对抛射体运动建模 三、光的折射原理 四、在经济学中的应用 例题选讲 例1 (E01) 求的在上的最大值与最小值. 解 解方程得 计算 比较得最大值最小值 例2 求函数在上的最大值及最小值. 解 函数在上连续, 令得 故在 上最大值为最小值为 例3 (E02) 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 解 (km), (km), 铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式: 即 问题归结为：取何值时目标函数最小. 求导得令得(km). 由于 从而当(km)时，总运费最省. 例4(E03) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入? 解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为 解得(唯一驻点). 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元). 求函数的最大值最小值 例5 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长. 解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点为一顶点的内接矩形的面积为 且 由 求得驻点为唯一的极值可疑点. 依题意, 存在最大值,故是的最大值,最大值 对应的值为 即当矩形的边长分别为时面积最大. 例6 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成三角形面积最大. 解 根据几何分析, 所求三角形面积为 由 解得(舍去). 为极大值. 故三角形为所有中面积的最大者. 例7 求数列的最大项(已知). 解 令则 由得唯一驻点 当时, 当时, 所以当时, 时, 函数取得极大值 , 由于又 因此当时, 得数列的最大项 例8 (E04) 在地面上以400m/s的初速度和的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置. 解 由m/s，，，则 即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米. 虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题. 但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度. 由抛射体在时刻的竖直位置解出. ，． 因为抛射体在时刻发射，故必然是抛射体碰到地面的时刻. 此时抛射体的水平距离，即射程为 . 当时即时射程最大. 抛射体在它的竖直速度为零时，即 从而 ，故最大高度 . 根据以上分析，不难求得例８中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 　　飞行时间（秒） 射程（米） 最大高度 （米） 例9(E05) 在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置