第二学期高等数学期末考试.doc

2011—2012学年第二学期 《高等数学（2-2）》期末试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年6月30日 页 号 一 二 三 四 五 六 总分 本页满分 30 16 16 8 16 14 本页得分 阅卷人 注意事项： 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。 一．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 本页满分30分 本页得分 1．，，若与垂直，则= . 2．设，则 3．设由方程所确定，则 4．设，而，其中，则______________. 5．已知是长方形,,,则= . 6．设曲线为圆周,则= 二．选择题（共4小题，每小题3分，共计12分） 1．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）. (A) (B) (C) (D) 2．设是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）. (A) 若收敛，则也收敛 (B) 若收敛，则 (C) 若收敛，则部分和有界 (D) 若收敛,则 3．设曲线型构件的密度函数为,则构件对ｚ轴的转动惯量为 ( ). (A) (B) (C) (D) 4．设有直线L：及平面，则直线L（ ）. (A) 平行于平面 (B) 与平面的夹角为 (C) 与平面垂直 (D) 与平面的夹角为三．解答题（共8小题，每小题8分，共计64分） 本页满分 16分 本页得分 计算二重积分其中积分区域D为 区域.2．设为曲面在点(1,1,1)处指向外側的法向量，求 （1）函数在点(1,1,1)的梯度； （2）函数在点处沿方向的方向导数； 本页满分 16分 本页得分 3．计算三次积分的值.4．设有幂级数， （1）求该幂级数的收敛半径　　　（２）求该幂级数的收敛域是　 （３）求该幂级数的和 本页满分 8分 本页得分 5．设( 为曲面 上侧为曲面正侧,计算 本页满分 16分 本页得分 6.设有函数，问 (1) 函数在点是否连续？说明理由. (2) 求函数 对的偏导函数7.设有力场， 求变力沿曲线L：从(1,0)到(0,1)的一段所做的功. 本页满分 14分 本页得分 求函数在由直线及 坐标轴所围成的有界闭域D上的最大值、最小值. 四．证明题（本题6分）设且连续，试证， 其中积分区域D= 答案： 填空题 1. 2. 3. 4. 5. 2 6. 二．选择题 1.C 2.D 3.B 4.B 三．解答题 1. 解： 作极坐标变换：，有 ------3分 ==------5分 2. 解：= ------1分 ------1分 ------1分 ------1分 （1）函数在点(1,1,1)的梯度 ------2分 (2)函数在点处沿方向的方向导数 ------2分 3. 解：利用球面坐标系，积分化为 --------4分 ----4分 或利用柱面坐标系 ------4分 ----4分 4. 解： (1) ==1 收敛半径R=1 ------2分 (2) 由于，收敛，所以收敛域为[-1,1]. ------2分 (3) ------3分 由于级数在x=-1,x=1处收敛， 且 ------1分 5. 解：法1：补辅助面，下侧为正侧， = ------1分 ------1分 == ------1分 =+ ------2分 =+ =+------1分 =-----2分 法2：合一投影 ， = 6. 解：(1) 取 y=kx,则 函数极限与k有关，极限不存在，由函数连续性定义， 函数在(0,0)点不连续. ------3分 (2) 时， ------5分 7. 解： 功 ,------2分 ，故积分路径无关 ------2分 = ------4分 8. 解：令 =0 =0，得驻点（0,0），（1,2）-----3分 在边界上，； 在边界上， 在边界上， 令=0，解得驻点 -----3分 ， .. 故，函数的极大值也是最大值是4，最小值是-64. ------2分 四．证明题 证：因为积分区域D关于直线对称， 所以 ------1分 于是 ------2分 ------3分 y