第五章 弹性与塑性力学的基本解法.ppt

当体力为零或为常量时，可简化为： 张量记法 根据 得 即：应力第一不变量是调和函数 对式中每一等式两边分别作拉普拉斯运算 张量记法 即：所有的应力分量都是双调和函数，但这些函数不是互相独立的，而是必须满足平衡微分方程式。 总之，从弹塑性力学问题的微分提法可知，一个实际的弹塑性力学问题总是可以归结为一个偏微分方程组的边值问题。那么，这个解是否存在和是否唯一？ 可以肯定的回答：弹塑性力学问题的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的固体，其内部各点的应力分量和应变分量是唯一的；如果在固体表面全部给定位移边界条件，或在部分表明给定位移边界条件而另外部分表明给定静力边界条件的情况下，则位移分量也是唯一的。 有关弹性力学“解的唯一性定理”证明见卓卫东编《应用弹塑性力学》P116。 对应力边界问题，应力分量满足了平衡微分方程、相应的相容方程和应力边界条件，其应力分量是否能完全确定？ 在多连体中，要完全确定位移分量，还必须利用“位移须为单值”这个条件 No，还必须考虑弹性体是否单连体 多连体：有两个或两个以上连续边界的物体，如：有孔口的物体 单连体：只有一个连续边界的物体 对于弹性力学问题需要在严格的边界条件下解复杂的微分方程组，常常因为难以克服数学上的困难，人们又研究了各种解题方法。 第五章 弹性与塑性力学的基本解法 * 2011年4月13日星期三 李田军弹塑性力学课件 第五章 弹性与塑性力学的基本解法 §5-1 概述 §5-2 按位移求解弹性力学问题 §5-3 按应力求解弹性力学问题 §5-4 圣文南原理及叠加原理 §5-1 概 述 弹塑性力学是研究弹性和弹塑性物体在外力作用下的应力、应变及变形规律的一门科学。 求解弹塑性问题的目的，在于求出物体内各点的应力和位移，即应力场、位移场。即：给定作用在物体全部边界或内部的外界作用，求解物体内因此产生的应力场和位移场。 或说，弹塑性力学解决的任何一个具体的问题，最终都是为了确定物体的六个应力分量函数（应力分布规律）、六个应变分量函数（应变变化规律）和三个位移分量函数（变形的规律）。 1、平衡方程 ?ij,j+Fi=0 3个方程 一、基本方程 固体力学问题的基本分析思路：通过从几何关系、物理关系、静力学关系三个方面进行分析。 本章将综合这三个方面的方程，给出弹塑性力学问题的微分提法，并介绍弹塑性力学问题的两种基本解法：位移法和应力法。 2、几何方程 ?ij=(ui,j+uj,i)/2 6 个方程 3、物理方程（本构方程） ⑴ 弹性阶段 应力满足屈服不等式 f(?ij)≤0 6个方程 ?ij=???ij+2G?ij or Sij=2Geij ?m=K? or ⑵ 塑性阶段 应力满足屈服函数 f(?ij)=0 普朗特-罗伊斯流动法则 依留申本构方程 五个方程 一个方程 一个方程 Sij=? eij ?m=K? 五个方程 一个方程 一个方程 增量理论 全量理论 4、静力边界条件和位移边界条件： ?ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上) 三类边值问题 二、问题的提法 弹塑性力学的基本方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件则具体地给出了每一个边值问题的特定规律。 平衡方程 3个 几何方程 6个 本构方程 6个 屈服条件 f(?ij)=0 基本方程 15个 基本未知量： ui 3 个 ?ij 6个 ?ij 6个 d? 15个 边界条件 ?ijlj=Fi ，ui=ui* 从数学的观点来看，一个实际的弹塑性力学问题总是可以归结为一个偏微分方程组的边值问题。这就是所谓的微分提法。 具体地说，对物体内每一点： 当它处于弹性阶段 当它处于塑性阶段 求 ?ij, ?ij, ui (15个) 求 d?ij, d?ij, dui, d? (16个) 使满足： 平衡方程 几何方程 本构方程 边界条件 平衡方程 几何方程 本构方程 屈服条件 边界条件 使满足： 15个 16个 （从自然状态开始的全部边界条件变化过程） 弹塑性力学的基本解法往往采用消去某些方程中的未知量，使未知量减少的办法来求解。（以弹性问题为主） (1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (