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求函数解析式的类型与方法归纳总结
函数的解析式
【教学目标】1.理解函数解析式的概念,
2. 掌握求函数解析式的常见类型及其方法。
【教学重点】掌握求函数解析式的常见类型及其方法。
【教学难点】一些简单实际问题中的函数的解析式表示。
一、知识要点:
1. 函数解析式的概念,
2. 求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
求或已知求:换元法、配凑法;
(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;
.
1、定义法(或配凑法)
此方法是把所给函数的解析式,通过配方,凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式,然后以x代替“自变量”即得所求函数的解析式。
例1 已知,求的解析式。
解 把解析式按“自变量”变形得,在上式中以x代替,得
此方法是将函数的“自变量”或某个关系
式代之;以一个新的变量(中间变量),然后找出函数中间变量的关系,从而求出函数的解析式。
例2 已知求
解 令=t,则即
3、待定系数法
此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形,首先确定多项式的次数,写出它的一般表达式,然后由已知条件,根据多项式相等的条件确定待定系数。
例3 已知二次函数满足条件及,求。
解 设由,知c=1,。由
,得
4、解方程组法
此方法是将函数中解析式的变量(或关系式)进行适当的变量代换,得一个新的等式,然后与原式联立,解方程组,即可求出所求的函数。
例4 已知求。
解 在原式中将x换成,再与原式联立,得消去,得
5、赋值法
此方法是在函数定义域内,赋予变量一些特殊值,利用所给函数关系式进行化简,从而使问题获得解决。
例5 设是R上的函数,且满足,并且对任意实数x,y有,求的表达式。
解 对任意,有,令x=y,得又,。
6、、参数法
此方法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系,从而求出的表达式。
例6 已知求。
解 设所求函数的参数表达式为;
,消去参数t,得,即
7、函数性质法
例7已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.
①证明:;②求的解析式;③求在上的解析式.
解:∵是以为周期的周期函数,∴,
又∵是奇函数,∴,
∴.
②当时,由题意可设,
由得,∴,
∴.
③∵是奇函数,∴,
又知在上是一次函数,∴可设,而,
∴,∴当时,,
从而当时,,故时,.
∴当时,有,∴.
当时,,∴
∴.
8、构造法
例8如下图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为。
(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式;
(2)作出函数的图象,并根据图象求y的最大值.
解:(1)这个函数的定义域为(0,12).
当时,;
当时,;
当时,。
∴这个函数的解析式为
(2)其图形为
由图知,[f(x)]max=8.
9、递推法
若函数的定义域为,且函数关系式是由递推关系给出的,可用递推法求出。
例9 已知函数定义域为,且对任意的,都满足求。
解 由,依次令
以上个式子相加,得故。
10、数列法
求定义在正整数集上的函数,实际上就是数列的通项。数列法就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式,求和公式等)求定义在上的函数。
例10 已知,且对任意正整数n,都有求。
解 由,有
为公比是3的等比数列,其首项为
即。
三、巩固训练:
1、(2006年全国卷II)、若,则( )
(A)(B)(C)(D)
【考点分析】本题考查求函数的解析式、函数值和余弦倍角公式,基础题。
解析:法1 ,故
∴,故选择C。
法2
【名师点拔】本题一般采用先求出函数的解析式,再求函数值。但如能巧用诱导公式,变成已知条件模式,则可减少计算量。
2、(2004年湖北理,3)已知f()=,则的解析式可取为( )
A. B C. D.
【考点分析】本题考查求函数的解析式、换元思想,基础题。
解析:令,则x=,∴f(t)=.∴f(x)=.
答案:C
评述:本题考查函数的定义及换元思想.本题还有一个陷阱
,故准确的讲应为
3、已知,求。
解:∵,
∴(或).
4、已知,求。
解:令(),
则,∴,∴.
5、已知是一次函数,且满足,求。
解: 设,
则,
∴,,∴.
6、已知满足,求.
解: ①,把①中的换成,得 ②,
①②得,∴.
7( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解:(
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