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比例线段、平行线分线段成比例定理 重点：比例的性质、平形线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质和判定 难点：比例的性质、平形线分线段成比例定理及推论的应用 一、知识点回顾 1、线段的比：在同一单位下，两条线段的长度之比叫做这两条线段的比。 2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3、如果a:b=c:d或，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。 4、如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项。 5、比例的性质： （1）基本性质 （2）合比性质 （3）等比性质 6、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC）BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。 7、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。 定理的基本图形： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 推论的基本图形： “日”型 “A”型 “X”型 “A”型 二、例题： 已知，求 解法1：∵ ∴ ∴ ∴=4 解法2：由比例的基本性质得：2（a+3b）=7×2b 化简得：a=4b ∴=4 已知x=，求x的值。 解：（1）当a+b+c≠0时 ∵x= ∴x= （2）当a+b+c≠0时，c=－（a+b） ∴x==－1 如图，在△ABC中，AB=12cm，AE=6cm，EC=4cm，且 求AD的长；（2）求证： 解：（1）设AD=xcm，则 ∴AD=x=7.2cm （2）∵ ∴（合比性质） ∴ ∴ 已知线段AB=10cm，点c是AB的黄金分割点，且ACBC，求AC和BC的长 解：∵点c是AB的黄金分割点，且ACBC ∴AC= 又∵AB=10cm ∴AC=5－5 cm ∴BC=AB－AC=15－5 cm 如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长。 解：∵l1∥l2∥l3 ∴（平行线分线段成比例定理） ∵AB=3，BC=5 AC=AB+BC=8 ∵DF=12 ∴ ∴DE=4.5 ∴EF=DF－DE=7.5 例6、如图，D为AB中点，E为AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于F。 求证： 分析：原题中没有平行线，因些需作平行线，利用平行线分线段成比例定理来构成比例线段。 证明：过点C作CG∥DF，交AB于G ∵CG∥DF ∴（平行线分线段成比例定理） ∵AD=BD ∴ 三、训练题： 1、已知，则=_______________. 2、已知x：y：z=3：4：5，则=______________. 3、等腰直角三角形中，一条直角边与斜边的比是__________. 4、已知M是线段AB延长线上一点，且AM：BM=5：2，则AB：BM=___________. 5、一个三角形三边的比为2：3：4，则这个三角形三边上的高的比是_____________. 6、已知菱形ABCD，∠A=60°，则=______________. 7、已知点C将线段AB黄金分割，则BC=____________AB. 8、如果b：c=3：2，且c是a和b的比例中项，则c：a=______________. 9、在比例尺为1：500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则两地实际距离是_______________. 10、若a=8cm，b=6cm，c=4cm，则a、b、c的第四比例项d=______，a、c的比例中项x=_______. 11、直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AB=________，BC：AC=_________. 12、△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且，则=____，=_____. 13、已知△ABC和△A’B’C’，，且A’B’+B’C’+C’A’=16cm，则AB+BC+CA=________cm. 14、如图，，则 ①=______ ②若BD=10cm，则AD=_____cm ③若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_________cm 15、如图，已知，求证： 16、已知：，求证：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项。 17、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，CE∥AB交BD延长线于E，若OB=6，OD=3，求DE。 四、解答： 1、 2、－ 3、 4、3:2 5、6：4：3 6、 7、或 8、3：2 9、125km