机器人操作的数学导论——机器人动力学.ppt

* 机器人的动力学及控制 1.拉格朗日方程 2.开链机器人动力学方程 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为： 刚体的质心是密度的加权平均： 如图所示刚体，在质心建立物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为物体相对于惯性坐标系的运动轨迹，r∈R3为刚体上一点相对于物体坐标系的坐标，现求刚体的动能。 1、拉格朗日方程 1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为： 物体的动能可用如下求得： 展开计算可得： = 其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 物体坐标系中表示的物体惯性张量З如下： 其中： 物体总动能可写为移动动能和转动动呢之和，如下式所示： 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 矩阵 ：称为在物体坐标系中表示的物体广义惯性矩阵。该矩阵是对称且正定的。 可以看出动能是个标量，与刚体的位置和姿态无关，由此可以通过运动旋量的坐标变换来求得新坐标系下的刚体广义惯性矩阵。 上式中 T=(1/2)VT V=(1/2)(AdgV)T (AdgV) =(AdgT)-1 (Adg)-1 选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴为刚体的惯性主轴。 1、拉格朗日方程 1.2 拉格朗日方程 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方程为： 式中T和V分别表示系统的动能和势能。 定义拉格朗日函数示为： 作用于第i个广义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为： 对机器人，可将关节角作为其广义坐标，广义力就是作用于关节轴线上的力矩。 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 对于位行为g∈SE(3)的刚体，利用运动螺旋和力螺旋建立动力学方程。 设g=(p,R)∈SE(3)表示刚体质心坐标系相对于惯性坐标系的位形，f为在惯性坐标系中表示的作用于质心的力。由牛顿定律可得移动方程： 同理，可推导刚体的转动方程，相对于惯性坐标系的角动量为 为相对于惯性坐标系的瞬时惯性张量，ws是空间角速度。故转动方程为 化简得： 该式称为欧拉方程 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 上述两式描述了刚体的动力学，力和力矩是相对于惯性坐标系表示的。 下面推导用运动螺旋和力螺旋来表示刚体动力学，将物体速度 等式两边左乘RT，得： （2） （1） 和物体力 代入(1)式 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 将物体坐标系表示的牛顿定律与上式结合，可得质心处作用有外力螺旋F、相对于物体坐标系的物体运动方程 上式称为在物体坐标系中表示的牛顿-欧拉方程，由于相对于物体坐标系的线速度和当前姿态有关，故移动和转动存在耦合联系。 化简得： 在物体坐标系中为常量 2、开链机器人动力学 2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和，定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形: 第i杆质心的物体速度为： 式中 为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。 2、开链机器人动力学 2.1 开链机器人的拉格朗日函数 第i杆的动能为 总动能为： 矩阵M(θ)∈Rnxn为机器人惯性矩阵，可将其定义如下： 第i杆势能为： Hi(θ)为第i杆质心高度。 2、开链机器人动力学 2.1 开链机器人的拉格朗日函数 总势能为 将其与动能加以组合，得拉格朗日函数 2、开链机器人动力学 2.2 开链机器人的运动方程 拉格朗日函数 将动能表示成和的形式， 将上式代入拉格朗日方程： Ri表示第i关节的驱动力矩和其它非保守力。 2、开链机器人动力学 2.2 开链机器人的运动方程 展开并整理得： 其中 从(1)式看出方程由4部分组成：与关节加速度有关的惯性力和，与关节速度平方成正比的离心力和哥氏力，有势力和外力。 其中 (1) (2) 2、开链机器人动力学 2.2 开链机器人的运动方程 外力可分为两部分：设 并定义 为作用于第i个广义坐标系的任意其它力，包括有势力和摩擦力产生的保守力，β为阻尼系数。