第八讲_三元一次方程组解法(教师用)初一数学.doc

第八讲 三元一次方程组解法举例 教学目标： （1）了解三元一次方程组的概念.? （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．? （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．? （4）通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路. 教学重、难点： （1）会解简单的三元一次方程组．? (2)通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． (3)针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 知识梳理： 方程组含有3个相同的未知数，每个方程式中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数. 解题思路： 思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.? 步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;?? ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;?? ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 4:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.? 灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.? 典型例题： 一、三元一次方程组之特殊型 例1：解方程组 分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。 解法1：代入法，消x. 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z. 类型二：缺某元，消某元型. 例2：解方程组 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解：由①+②+③ 典型例题举例：解方程组 解：由①+②+③得 类型三：轮换方程组，求和作差型. 例3：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。 解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入② 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入② 典型例题举例：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x = y； 由③得z=.从而利用代入法求解。 解法1：略. 分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。 解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入① 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型 例4：解方程组 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。 解： （明确消z，并在方程组中体现出来——画线） ①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√) ②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△) 由④、⑤得 解得 把x=2 ，y=3代人②，得 z=1. ∴ 是原方程组的解. 典型例题举例：解方程组 分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④