工业机器人技术第3章　工业机器人运动学和动力学.ppt

　　 3.1　工业机器人的运动学3.1.1　工业机器人位姿描述　　1. 点的位置描述　　如图3.1所示，在直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示为其中，px、py、pz是点P的三个位置坐标分量。 　　 图 3.1　点的位置描述 　　2. 点的齐次坐标　　如果用4个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：　　齐次坐标并不是唯一的，当列阵的每一项分别乘以一个非零因子ω时，即 　　3. 坐标轴方向的描述　　用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有　　规定：　　列阵［a　b　c　0］T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1,表示某轴(或某矢量)的方向；列阵［a　b　c　ω］T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。 　　例如，在图3.2中，矢量v的方向用(4×1)列阵表示为　　矢量v所坐落的点为坐标原点，表示为　　当α=60°，β=60°，γ=45°时，矢量为 图 3.2　坐标轴方向的描述 　　4. 动坐标系位姿的描述　　动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述，该位姿矩阵为(4×4)的方阵，如上述直角坐标系可描述为： 　　5. 刚体位姿的描述　　机器人的每一个连杆均可视为一个刚体，若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态，则这个刚体在空间上是唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。　　如图3.3所示，设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系，称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为 图 3.3　刚体的位姿 　　令n、o、a分别为X 、Y 、Z坐标轴的单位方向矢量，即　　刚体的位姿表示为(4×4)矩阵： 　　6. 手部位姿的描述　　机器人手部的位姿如图3.4所示，可用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量唯一确定，即　　(1) 原点：取手部中心点为原点OB；　　(2) 接近矢量：关节轴方向的单位矢量a；　　(3) 姿态矢量：手指连线方向的单位矢量o；　　(4) 法向矢量：n为法向单位矢量，同时垂直于a、o矢量，即n=o×a。 　　手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p。手部的位姿可由(4×4)矩阵表示： 图 3.4　机器人手部的位姿 　　7. 目标物位姿的描述　　任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示，如图3.5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述,矩阵表达式为 　　若让其绕Z轴旋转90°，记为Rot(z，90°)；再绕Y轴旋转90°，即Rot(y，90°)，然后再沿X轴方向平移4，即Trans (4，0，0)，则楔块成为(b)图位姿，其齐次矩阵表达式为　　用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程，也便于矩阵的运算，所以应该熟练掌握。 图 3.5　目标物的位姿 (a) 楔块的初始姿态；(b) 楔块绕Z轴旋转90°后的姿态 3.1.2　齐次变换及运算　　1. 平移的齐次变换　　如图3.6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移，由A(x，y，z)平移至A′(x′，y′，z′)，即或写成　　 图 3.6　点在直角坐标系中的平移 记为： a′=Trans(Δx，Δy，Δz)a其中，Trans(Δx，Δy，Δz)称为平移算子，Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。即 　　注： ① 算子左乘：表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。　　② 算子右乘：表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。　　③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换，如机器人手部的平移变换。 　　2. 旋转的齐次变换　　点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示，A(x，y，z)绕Z轴旋转θ角后至A′(x′，y′，z′)，A与A′之间的关系为 图 3.7　点在空间直角坐标系中的旋转 　　推导如下：　　因A点是绕Z轴旋转的，所以把A与A′投影到XOY平面内，设OA=r，则有同时有其中，α′=α+θ，即 所以所以由于Z坐标不变，因此有 写成矩阵形式为记为： a′=Rot(z，θ)a其中，绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系，即 同理， 　　图3.8所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y