对傅里叶分析的认识与应用.doc

对傅里叶分析的认识与应用 摘要：通过对傅里叶级数的学习与了解，我对傅里叶技级数的发现，推理与认识进行了归纳总结与演绎，并且在解决实际问题上进行了一些工作。 关键词：傅里叶级数；热传导方程；傅里叶分析 引言 傅里叶级数通常指将一个周期为一的函数表示为：的形式的变换，当然周期也可以是，，都可以作此展开，而傅里叶级数中，中也有其完美的美学意义与历史价值，《死海古卷》里有句古话：“一个波动包含无数频率。”成分这也是对傅立叶级数的最好评价。更不用说用完美的正弦曲线绘制世界所给人带来的那种惊叹，周期运动，是宇宙中最常见的巧合。 理论 对于傅立叶级数的得出，我会通过自身认识进行展出，对于 周期为1 周期为1，周期为1，不变。看得出，共同的周期为1，和周期也是1. 根据我们的需要：N个 因与中没有，所以作为系数的一部分得，而为了有更为普遍的意义，这里加入一个常数项系数（而这么写是为了以后应用的更方便）。 （1） 更像是交流电路中的直流分量。 一个函数用与表征，那么其实就是函数在与上的一种投影。就像在上的投影为，一条函数的曲线在空间中可以向任意一些坐标进行投影（只有这些坐标之间正交才有意义）而在傅里叶分析中，在与所形成的无限维希尔伯特空间上进行次投影就得出了傅里叶级数的各项系数。 2.1我们要证明这是一个合格的正交坐标系： 傅里叶级数将可能具有的系数： 分别取： 由此可以证明所有基底相互正交。 2．2证明所求系数为在基底上的投影长度。 在上 在上 在上 在上 从上式得出，系数便是一种希尔伯特空间的投影取值。 对于 则（1）式变为： 因为对称性原理 而对于其中一项系数列出- 同除得--- 积分： 其中， 2.3总结：给一个，如果写出= 而是在与为基底的态函数，此时不考虑与同时为的函数两图中，不发生变化，只有坐标发生了变化。 这里事实上就是傅里叶变换的过程 二．对原方程的认识 这个图很不陌生，可以用振动方程的定解条件来解： 我们可以化简为： 当时，是图中折线的傅里叶级数看得出，没有余弦分量，是奇函数，居然推出时因为如图： 则当长为的弦被以图中的方式拉开，弦的方程与时并没有不同之处只是取值范围发生了延拓。 如果在内可积，可以想象为点乘，由当与正交时， 的模为 而勾股定理为所以只有当勾股定理成立。 3.应用： 这里例举一个一维例子 圆环的初始温度为 设：周期为1，即则 令为温度在与上的分布（为时间） 就变成了周期函数： 利用我们在数理方程上所学习的方程式： 因为为周期函数 带入方程得： 由 为傅里叶变换。 在中 求出即可 求 代入方程 ： = 对应系数： 为一阶线性微分方程 解得： 引入初始条件 小结 本文以课本知识为主，叙述了傅里叶级数的意义，虽然没有太多学术价值，但是在创作论文的过程中，笔者学到了，注意到了很多重要的意义，对于培养数学思维与兴趣产生了帮助，更对物理物理的学习产生了巨大帮助。 参考文献： [1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社. [M].2010.1.第四版. TO THE FOURIER SERIES UNDERSTANDING AND APPLICATION Abstract: By all semester’s learning and deliberate of the Fourier series. I had summary and conclusion about the discovery and application . Key words: Fourier series; Fourier Analysis; equation of heat conduction