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港口问题的蒙特卡罗算法
排队模型之港口系统
内容摘要:面对拥挤现象,人们通常的做法是增加服务设施,但是增加的数量越
多,人力、物力的支出就越大,甚至会出现空闲浪费,如果服务设施太少,顾客
排队等待的时间就会很长,这样对顾客会带来不良影响。如何做到既保证一定的
服务质量指标,又使服务设施费用经济合理,恰当地解决顾客排队时间与服务设
施费用大小这对矛盾,就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决的问题。
本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题,通过对工具到
达时间和服务时间的计算机拟合,将基本模型确定在M / M /1 排队模型,通过对
此基本模型的分析和改进,在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真
(蒙特卡洛法)对生产系统的整个运行过程进行模拟,得出最后的结论。
关键词:排队模型 港口 M / M /1 蒙特卡洛方法
问题提出:
一个带有船只卸货设备的小港口,任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港
是为了卸货,响铃两艘船到达的时间间隔在 15 分钟到 145 分钟变化。一艘船只
卸货的时间有所卸货物的类型决定,在15分钟到90分钟之间变化。
那么,每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少?
若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间,每艘船只的平均等待时
间和最长等待时间是多少?
卸货设备空闲时间的百分比是多少?
船只排队最长的长度是多少?
问题分析:
排队论:排队论(Queuing Theory) ,是研究系统随机聚散现象和随机服务
系统工作过程的数学理论和方法,又称随机服务系统理论,为运筹学的一个分支。
本题研究的是生产系统的效率问题,可以将磨损的工具认为顾客,将打磨机当做
服务系统。【1】
M / M /1 :较为经典的一种排队论模式,按照前面的 Kendall 记号定义,
前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布,后面的M则表示服务时间服从
负指数分布,1为仅有一个打磨机。
蒙特卡洛方法:蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,或称计算机随机
模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界
大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼
用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层
(2)
神秘色彩。
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型,以便
根据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性,主要研究队长分布、
等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题:即包括最优设计(静态优化),最优运营(动态优化)。【3】
为了得到一些合理的答案,利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。
假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布,加入两艘船到
达的时间间隔可以是 15 到 145 之间的任何数,且这个区间内的任何整数等可能
的出现。再给出模拟这个系统的一般算法之间,考虑有5艘传至的假象情况。
对每艘船只有以下数据:
船1 船2 船3 船4 船5
相邻两艘船到达的时间间隔 20 30 15 120 25
卸货时间 55 45 60 75 80
因为船 1 在时钟于 t=0 分钟计时开始后 20 分钟到达,所以港口卸货设备在
开始时空空闲了20分钟。船1立即开始卸货,卸货用时55分,其间,船2在时
钟开始计时后t=20+30=50分中到达。在船1与t=20+55=75分钟卸货完毕之前,
船2不能开始卸货,这意味着船2在卸货前必须等待75-50=25分钟。
在船2开始卸货之前,船2于t=50+15=65分钟到达,因为船2在t=75分钟
开始卸货,并且卸货需45分钟,所以在船2与t=75+45=120分钟卸货完毕之前,
船3不能开始卸货。这样,船3必须等待120分钟。
船 4 在 t 65+1
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