单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计书.doc

单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计书 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计 1 单级移动倒立摆的Newton方法建模 1.1非线性数学模型 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。 1.1.1 被控对象系统建模分析 在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。. 设输入作用力为u，输出为摆角θ 图1 小车总系统分析 小车质量M=1 摆杆质量m=0.1 小车摩擦系数b=0 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.5 摆杆惯量I=0.03 加在小车上的力F 小车位置x 摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正)Φ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）θ 图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。 图2 系统分隔分析图 应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ----------------------------------------------------- ① 合并可得： --------------------------------------- ② 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： 合并得到力矩平衡方程如下： --------------------------------------------------- ③ 方程中，当与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理： 、、，用来代替被控对象的输入力F，线性化两个运动方程（即将上述等式带入②和③） ------------------------------------------------④ 对方程组④进行拉普拉斯变换，得到： ----------------------------------⑤ 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到： 把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数： 其中 根据题目所给的条件得出原函数的传递函数为 2 倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析 2.1未校正系统输出动态性能 原系统结构图如图3所示，设输入为单位阶跃响应 图3 simulink仿真 用MATLAB做出单位阶跃响应曲线如下图4 图4 单位阶跃响应曲线 用MATLAB做出传递函数的根轨迹图图5,MATLAB程序如下 n=[0.8] d=[1 0 -9.16] Rlocus（n,d） 图5 根轨迹 用matlab做伯德图图6，MATLAB程序如下 G=tf([0.8],conv([1 0 -9.16],[1])),bode(G) 图6 伯德图 图5、图6分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。 2.2 系统的串联超前装置校正 2.2.1 参数修正 超前校正就是在前向通道中串联传递函数为，a1的校正装置，其中参数a、T为可调，如下图，从超前校正的零、极点可以位于s平面负实轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高洗头膏稳定性等。 在串联超前装置后，该开环传递函数为，所以特征方程为，利用劳斯判据判断其稳定性 图7 劳斯表 可以发现当原系统加入了超前校正装置之后，系统仍然为不稳定，则根据我的判定是题目的参数有偏差，所以我修改了数据改变了小车质量M和摆杆的质量m，设M=0.05，m=0.01 求得新的原传递函数为 图8 simulink仿真图 用MATLAB做出单位阶跃响应曲线，如下图9单位阶跃响应曲线 图9 单位阶跃响应曲线 用matlab做出根轨迹图10，MATLAB程序如下 n=[15] d=[1 0 -9] rlocus(n,d) 图10 根轨迹图 用m