数学分析（4版）-华东师范大学22-2.pptVIP

其中 ? 是曲面 的法线方向与 z 轴正向的交角, 它 是定义在 上的函数. 所以 ? 是锐角. 使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角 满足等式 上连续. §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 或 于是 因为积分沿曲面正侧进行, 又由 S 是光滑的, 所以 内必存在一点, 应用中值定理, 在 与 z 轴正向夹角的余弦, 现以 的法线方向 时, 得当 得到 §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 这里注意当改变曲面的侧向时, 左边积分改变符号; 右边积分中角 ? 改为 因而 也改变符号, 所以右边积分也相应改变了符号. 的连续性, 则由 可推 因此由(9)式 同理可证: (10)式右端极限存在. 其中? , ? 分别是 S 上的法线方向与 x 轴正向和与 y §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 轴正向的夹角. 这样, 在确定了余弦函数 之后, (11), (12),(13),(14) 式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系. 一般地有 由 因此 上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影, 从而 使计算得到简化. 时, §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 注 当曲面由 表示, 且取上侧 例4 计算 其中 为 的部分, 并取上侧. 解 §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 上面第二步计算后得到 是利用了积分区 域的对称性和被积函数的奇偶性, 他各积分项全都等于零. §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 除了这一项外,其 数学分析 第十三章 函数列与函数项级数 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量. 与第二型曲线积分相类似, 第二型曲面积分与曲面所取的方向有关, 这就需要先定义“曲面的侧”. §2 第二型曲面积分 数学分析 第二十二章 曲面积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 四、两类曲面积分的联系 设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法 线 ), 定其中一个指向为正方向时, 又设 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点 且不超出 S 边界的闭曲线. 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特 出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 曲面的侧 后退 前进 目录 退出 向. 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 另一个指向就是负方 当 S 上的动点 M 从 征: 否则, 若 由某一点 出发, 沿 S 上某一封闭曲线 回到 时, 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 S 是单侧曲面. 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 一个典型例子是默比乌斯(M?bius)带. 法如下: 一端扭转 后与另一端粘合在一起 重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ). §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 单侧曲面的 它的构造方 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 ( 即让 A 与 C 默比乌斯( M?bius,A.F. 1790－1868, 德国 ) §2 第二型曲面积分 曲面的侧 概念 计算 两类曲面积分的联系 通常由 所表示的曲面都是双侧曲面, 线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧. 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 作为正侧,下侧作为负侧; 正侧, 内侧作为负侧. 其法 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外 习惯上把上侧 又把封闭曲面的外侧作为 先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速 从曲面 S 的负侧流向正侧 (图22-5), 所讨论范围上的连续函 数, 曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点 处的正向单位法向量为 第二型曲面积分的概念 §