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数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §3 初等函数的连续性 指数函数的连续性 初等函数的连续性 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §3 初等函数的连续性 指数函数的连续性 初等函数的连续性 一、指数函数的连续性 在学习了连续函数的定义及其一系列基本性质后，现在可以证明一个重要结论：初等函数在其有定义的区间上总是连续的. §3 初等函数的连续性 数学分析 第四章 函数的连续性 二、初等函数的连续性 *点击以上标题可直接前往对应内容 指数函数的连续性 在第一章中, 我们已经定义了指数函数 并指出它在 R 内是严格单调的. 首先证明指数函数的一个重要性质. 定义域内也是连续函数. 数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其 所以,若能证明指 后退 前进 目录 退出 指数函数的连续性 定理4.10 证 当 是有理数时, 这是我们熟知的结果. 对于任意 存在有理数 设 为任意实数, 则有 先设 由定义， 使 指数函数的连续性 于是有 因为 是任意的, 所以 反之, 存在有理数 再取有理数 指数函数的连续性 使 则 仍因 ? 是任意的, 又得 这就证明了 指数函数的连续性 只要令 就有 第二个等式的证明留作习题. 定理4.11 指数函数 在 R上是连续的. 证 我们仍旧先假设 处连续, 这是因为对于任意的正数 取 所以 在 x = 0 处连续. 指数函数的连续性 首先证明指数函数在 即 对于一般的点 由定理4.10得到 所以 在 R 上连续. 对于 只要设 由 就可得到相应的结论. 注 指数函数的连续性 推论2 推论1 也是连续的. 例1 设 证明 对数函数 在定义域 上是连续的. 从而 在点 x0 也连续, 证 设 幂函数 在定义域 续, 指数函数的连续性 在点 x0 连 于是证得 注 例1的结论可改写为 指数函数的连续性 由此求得 当 故 指数函数的连续性 例2 求 解 因为 初等函数的连续性 我们已经知道以下函数在定义域内是连续的 (i) 常值函数; (vi) 对数函数. (v) 指数函数; (iv) 幂函数; (iii) 反三角函数; (ii) 三角函数; 初等函数的连续性 定义3 以上六种函数称为基本初等函数. 由上面的分析, 我们得到如下结论： 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 上是连续的. 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在） 的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复 的四则运算与复合运算是保连续的， 所产生的函数称为初等函数. 因为连续函数 所以由上面 初等函数的连续性 定理4.12 例3 求极限 初等函数在其有定义的区间上是连续的. 注 上述结论中所指的“定义区间”,今后(第十六 解 因为 是初等函数, 所以在 处连续, 从而 章)在一般意义下可以改为“定义域”. 初等函数的连续性 例4 据理说明 不是初等函数. 解 因为 是 的定义区间上的点, 而 所以 在 处不连续. 因此函数 不是初 等函数. 初等函数的连续性 * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §3 初等函数的连续性 指数函数的连续性 初等函数的连续性 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §3 初等函数的连续性 指数函数的连续性 初等函数的连续性 * * * * * * * * * * * * *