龚德恩-线性代数-jj-xd0402.pptVIP

* 第二节 相似矩阵 一、相似矩阵的概念和性质 二、矩阵可相似对角化的条件 利用矩阵的特征值、特征向量,满足一定条件的n阶矩阵A可以化为对角矩阵,并且保持矩阵A的原来的性质.这就需要引入相似矩阵的概念． 　 定义4.3 设　　为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P 使得 则称矩阵　与　相似.记作　　　． 一、相似矩阵的概念和性质 相似矩阵具有以下性质： 性质1 相似矩阵的特征值相同． 证 设　　为　阶矩阵，　　.根据相似定义,存 在可逆矩阵P,有　　　　　． 所以 即矩阵　　有相同的特征多项式,所以 有相同的特征值． 性质２　相似矩阵的行列式相等． 性质３　相似矩阵的秩相等． 性质４　相似矩阵的主对角线上元之和相等． 　一般地,n阶矩阵　　　　的主对角线上元 　　　称为矩阵　的迹． 因此,性质4也可叙述为: 之和 相似矩阵的迹相等． 与　 相似 性质5 如果n阶矩阵A与B相似,则 证 由　　　可知,存在可逆矩阵P,使得 所以 (m为正整数). 即 例4.8 已知矩阵 如果A与B相似，求 x, y 的值． 解 方法一: 由　　 可知,矩阵　　的特征多项式 相同 　　　　　　　　　．即 即 等式两边 的同次幂的系数应相等.所以 解得 　方法二: 因为A与B相似，故 有相同的迹, 且 ．即 化简得 解得 . 由 二、矩阵可相似对角化的条件 　如果n阶矩阵可以与一个对角矩阵相似,则称矩 阵A可相似对角化,简称A可对角化. 例4.9 设矩阵 显然,矩阵 都可逆.且 如果矩阵 ,则A与B相似.其中 如果矩阵 ,则 与 相似.其中 可以看出, 与A相似的矩阵未必是对角矩阵. 在什么条件下以及如何选取可逆矩阵P , 使 成对角矩阵是我们关心的问题. 相似,则存在可逆矩阵P, 定理4.5 阶矩阵 相似于对角矩阵的充分必要 条件是 有 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设矩阵 与对角矩阵 使得 .即 将矩阵P按列分块为 , 则 即 　　由此可得 . 这表明 是矩阵 的特征值. 是 的属于特征值 的特征 向量.因此矩阵 可逆, 其列向量组 必线性无关. 充分性 设矩阵 有 个线性无关的特征向量 , 对应的特征值依次为 . 即 令矩阵 ,则 可逆.而A可改写为 记对角矩阵 . 于是 即A与对角矩阵 相似. 由上式得 例如,在§4.1的例4.4中,矩阵 A的特征值 对应的线性无关的特征向量 特征值 对应的特征向量 .于是 　　　 线性无关.所以矩阵A可对角化.令矩阵 则 推论 如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值, 则矩阵A可相似对角化. 事实上,根据定理4.3, A的n个互不相同特征值 对应的特征向量线性无关,所以 必有 个线性无 关的特征向量,故 可相似对角化. 例4.10 判断矩阵A是否可对角化. 其中 解　矩阵A的特征多项式 令 ,可得 的特征值 . 　　对于 ,解齐次方程组 可得其基础解系 . 　　对于 , 解齐次方程组 可得其基础解系 . 因三阶矩阵A仅有两个线性无关的特征向量 　　　,所以 不可对角化. 注: 在矩阵A有多重特征值时, A是可否对角化, 依赖其多重特征值所对应的线性无关特征向量的 个数: 对A的每一 重特征值 ,可求出