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* * 第一节 矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值和特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 一、矩阵的特征值和特征向量的概念 定义4.1　设 是 阶矩阵,如果存在数 和非零 向量　，使得 则　称为矩阵　的一个特征值,　称为矩阵 的 属于特征值　的一个特征向量． 例4.1 对于n阶单位矩阵E及任一非零的n维向量 有 征值　　　的特征向量． 所以　　　是　的一个特征值， 是　的属于特 　如何求 阶矩阵　　　 的特征值和特征向量: 非零解,而齐次线性方程组有非零解的充分必要 条件是 以 为未知量的 一元n次方程 说明　是齐次线性方程组 的 即 特征值 也称为特征根． 说明A的特征值 是方程　　　　　 的根． 行列式　　　 称为矩阵A的特征多项式; 定义4.2 对于n阶矩阵　　　　， 称为矩阵A的特征矩阵; 矩阵 称为矩阵A的特征方程． n元方程 对于每一个特征值 的一个基础解系, 就得到矩阵A的属于特征值 的线性无关的特征向量，它们的非零线性组合 就是矩阵A的属于特征值 的全部特征向量. 求矩阵A的特征向量的方法： 求出齐次线 性方程组 对于矩阵　　　　， 只需求出特征方程 的根 就可以得到A的全部特征值． 求矩阵A的特征值的方法： 例4.2 求矩阵 的特征值和特征向量． 解 矩阵A的特征多项式 令　　　　　　,得矩阵A的特征值 对于　　 ,解齐次线性方程组 可得其基础解系　　　　　. 为任意常数 的全部特征向量 所以A的属于特征值 为 对于　　 ,解齐次线性方程组 可得其基础解系　　　　　 为任意常数 的全部特征向量 所以A的属于特征值 为 例4.3 求矩阵A的实特征向量,其中 解 矩阵A的特征多项式 （按第一行展开） 令　　　　　　,得A的唯一的实特征值　　　． （另一个为复特征值） 所以, A的属于 　　对于　　　,解齐次线性方程组 　　　　　　: 特征值　　　的全部特征向量为 为任意常数 可得其基础解系　　　　　　． 注:尽管矩阵A的所有元素都是实数,其特征值 也可能出现复数.本教材仅讨论实矩阵A的 实特征值和特征向量. 例4.4 求矩阵A的特征值和特征向量,其中 解 矩阵A的特征多项式 令　　　　　　,得矩阵A的特征值 对于　　　　　,解齐次线性方程组 可得其基础解系 所以,A的属于特征值　　　 的全部特征向量为 其中 为不全为零的任意常数． 对于　　　 ,解齐次线性方程组 可得其基础解系　　　　　　　, 特征值　　　　的全部特征向量为 为任意常数 所以A的属于 例4.4 求矩阵A的特征值和特征向量，其中 解 矩阵A的特征多项式 令　　　　　　，得矩阵A特征值 对于三重特征值　　　　　　　　．解齐次 线性方程组　　　　　　　，即 可以看出，任意三个线性无关的三维列向量都 是此方程组的一个基础解系． 则　的属于特征值　的全部特征向量为 为不全为零的任意常数 若取 　　从上面的例子可以看出下述结论(证明略): n阶矩阵A的特征多项式是一个一元n次多 项式，所以A有n个特征根(包括重根、复根). 如果 是矩阵A的一个特征值, 则A的属于特征值　 的线性无关的特征向量可能不止一个, 但其个 征向量,则　所对应的特征值只有一个． 数不会超过 的重数; 如果向量　是A的一个特 * *